Considere as matrizes $$A = \left(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right)$$$$B = \left(\begin{array}{lll} -1 & 0 & 1\\ 0 & -2 & 0\\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right)$$Sejam $\lambda_0$, $\lambda_1$ e $\lambda_3$ as raízes da equação $\text{det}(A - \lambda I_3) = 0$ com $\lambda_0 \leq \lambda_1 \leq \lambda_2$.
Considere as afirmações:
I- $B = A - \lambda_0I_3$
II- $B = (A - \lambda_1I_3)A$
III- $B = A(A - \lambda_2I_3)$
Então:
A priori, é interessante perceber que as matrizes em questão são bem peculiares, pois o produto da diagonal principal menos o produto da secundária é igual ao seu determinante, isso ocorre em todos os determinantes $3 \times 3$ na forma: \begin{bmatrix}
a && 0 && b \\ 0 && c && 0 \\ d && 0 && e
\end{bmatrix}Voltanto a questão, comecemos por $A -\lambda I_3$, o índice $3$ da matriz identidade refere-se à sua ordem. \begin{matrix} det(A-\lambda I_3) &=&
\begin{vmatrix}
2- \lambda && 0 && 1 \\ 0 && 2 - \lambda && 0 \\ 1 && 0 && 2 - \lambda
\end{vmatrix}
&=& (2-\lambda)^3 - (2-\lambda) &=& 0
\end{matrix}
Continuando,
\begin{matrix} (2-\lambda)^3 = (2-\lambda) &\Rightarrow& \fbox{$ \lambda_1= 2$} \\ \\ \
(2-\lambda)^2 = 1 &\Rightarrow& \fbox{$ \lambda_0 = 1$} \ \ , \ \ \fbox{$ \lambda_2 = 3$}
\end{matrix}Agora, temos apenas "trabalho braçal", assim:
$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$
\begin{matrix} A-\lambda_0 I_3&=&
\begin{bmatrix}
1 && 0 && 1 \\ 0 &&1 && 0 \\ 1 && 0 && 1
\end{bmatrix}
\end{matrix}
$• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$
\begin{matrix} (A-\lambda_1 I_3)A &=&
\begin{bmatrix}
1 && 0 && 2 \\ 0 && 0 && 0 \\ 2 && 0 && 1
\end{bmatrix}
\end{matrix}
$• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$
\begin{matrix} A(A-\lambda_2 I_3) &=&
\begin{bmatrix}
-1 && 0 && 1 \\ 0 && -2 && 0 \\ 1 && 0 && -1
\end{bmatrix}
\end{matrix}
\begin{matrix} Letra \ (E)
\end{matrix}
