Considere as matrizes Sejam , e as raízes da equação com .
Considere as afirmações:
I-
II-
III-
Então:
A priori, é interessante perceber que as matrizes em questão são bem peculiares, pois o produto da diagonal principal menos o produto da secundária é igual ao seu determinante, isso ocorre em todos os determinantes $3 \times 3$ na forma: \begin{bmatrix}
a && 0 && b \\ 0 && c && 0 \\ d && 0 && e
\end{bmatrix}Voltanto a questão, comecemos por $A -\lambda I_3$, o índice $3$ da matriz identidade refere-se à sua ordem. \begin{matrix} det(A-\lambda I_3) &=&
\begin{vmatrix}
2- \lambda && 0 && 1 \\ 0 && 2 - \lambda && 0 \\ 1 && 0 && 2 - \lambda
\end{vmatrix}
&=& (2-\lambda)^3 - (2-\lambda) &=& 0
\end{matrix}
Continuando,
\begin{matrix} (2-\lambda)^3 = (2-\lambda) &\Rightarrow& \fbox{$ \lambda_1= 2$} \\ \\ \
(2-\lambda)^2 = 1 &\Rightarrow& \fbox{$ \lambda_0 = 1$} \ \ , \ \ \fbox{$ \lambda_2 = 3$}
\end{matrix}Agora, temos apenas "trabalho braçal", assim:
$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$
\begin{matrix} A-\lambda_0 I_3&=&
\begin{bmatrix}
1 && 0 && 1 \\ 0 &&1 && 0 \\ 1 && 0 && 1
\end{bmatrix}
\end{matrix}
$• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$
\begin{matrix} (A-\lambda_1 I_3)A &=&
\begin{bmatrix}
1 && 0 && 2 \\ 0 && 0 && 0 \\ 2 && 0 && 1
\end{bmatrix}
\end{matrix}
$• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$
\begin{matrix} A(A-\lambda_2 I_3) &=&
\begin{bmatrix}
-1 && 0 && 1 \\ 0 && -2 && 0 \\ 1 && 0 && -1
\end{bmatrix}
\end{matrix}
\begin{matrix} Letra \ (E)
\end{matrix}