Considere as matrizes $$A = \left(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right)$$$$B = \left(\begin{array}{lll} -1 & 0 & 1\\ 0 & -2 & 0\\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right)$$Sejam $\lambda_0$, $\lambda_1$ e $\lambda_3$ as raízes da equação $\text{det}(A - \lambda I_3) = 0$ com $\lambda_0 \leq \lambda_1 \leq \lambda_2$.

Considere as afirmações:

  • I- $B = A - \lambda_0I_3$

  • II- $B = (A - \lambda_1I_3)A$

  • III- $B = A(A - \lambda_2I_3)$

Então:


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ITA IIIT 20/02/2022 23:28
A priori, é interessante perceber que as matrizes em questão são bem peculiares, pois o produto da diagonal principal menos o produto da secundária é igual ao seu determinante, isso ocorre em todos os determinantes $3 \times 3$ na forma: \begin{bmatrix} a && 0 && b \\ 0 && c && 0 \\ d && 0 && e \end{bmatrix}Voltanto a questão, comecemos por $A -\lambda I_3$, o índice $3$ da matriz identidade refere-se à sua ordem. \begin{matrix} det(A-\lambda I_3) &=& \begin{vmatrix} 2- \lambda && 0 && 1 \\ 0 && 2 - \lambda && 0 \\ 1 && 0 && 2 - \lambda \end{vmatrix} &=& (2-\lambda)^3 - (2-\lambda) &=& 0 \end{matrix} Continuando, \begin{matrix} (2-\lambda)^3 = (2-\lambda) &\Rightarrow& \fbox{$ \lambda_1= 2$} \\ \\ \ (2-\lambda)^2 = 1 &\Rightarrow& \fbox{$ \lambda_0 = 1$} \ \ , \ \ \fbox{$ \lambda_2 = 3$} \end{matrix}Agora, temos apenas "trabalho braçal", assim: $• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ \begin{matrix} A-\lambda_0 I_3&=& \begin{bmatrix} 1 && 0 && 1 \\ 0 &&1 && 0 \\ 1 && 0 && 1 \end{bmatrix} \end{matrix} $• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ \begin{matrix} (A-\lambda_1 I_3)A &=& \begin{bmatrix} 1 && 0 && 2 \\ 0 && 0 && 0 \\ 2 && 0 && 1 \end{bmatrix} \end{matrix} $• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ \begin{matrix} A(A-\lambda_2 I_3) &=& \begin{bmatrix} -1 && 0 && 1 \\ 0 && -2 && 0 \\ 1 && 0 && -1 \end{bmatrix} \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (E) \end{matrix}
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