A priori, é interessante perceber que as matrizes em questão são bem peculiares, pois o produto da diagonal principal menos o produto da secundária é igual ao seu determinante, isso ocorre em todos os determinantes $3 \times 3$ na forma: \begin{bmatrix} a && 0 && b \\ 0 && c && 0 \\ d && 0 && e \end{bmatrix}Voltanto a questão, comecemos por $A -\lambda I_3$, o índice $3$ da matriz identidade refere-se à sua ordem. \begin{matrix} det(A-\lambda I_3) &=& \begin{vmatrix} 2- \lambda && 0 && 1 \\ 0 && 2 - \lambda && 0 \\ 1 && 0 && 2 - \lambda \end{vmatrix} &=& (2-\lambda)^3 - (2-\lambda) &=& 0 \end{matrix} Continuando, \begin{matrix} (2-\lambda)^3 = (2-\lambda) &\Rightarrow& \fbox{$ \lambda_1= 2$} \\ \\ \ (2-\lambda)^2 = 1 &\Rightarrow& \fbox{$ \lambda_0 = 1$} \ \ , \ \ \fbox{$ \lambda_2 = 3$} \end{matrix}Agora, temos apenas "trabalho braçal", assim: $• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ \begin{matrix} A-\lambda_0 I_3&=& \begin{bmatrix} 1 && 0 && 1 \\ 0 &&1 && 0 \\ 1 && 0 && 1 \end{bmatrix} \end{matrix} $• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ \begin{matrix} (A-\lambda_1 I_3)A &=& \begin{bmatrix} 1 && 0 && 2 \\ 0 && 0 && 0 \\ 2 && 0 && 1 \end{bmatrix} \end{matrix} $• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ \begin{matrix} A(A-\lambda_2 I_3) &=& \begin{bmatrix} -1 && 0 && 1 \\ 0 && -2 && 0 \\ 1 && 0 && -1 \end{bmatrix} \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (E) \end{matrix}