Seja $S$ o conjunto dos números complexos que satisfazem simultaneamente, às equações: $$|z - 3i| = 3$$$$|z + i| = |z - 2 -i|$$O produto de todos os elementos de $S$ é igual a:
$-$ Seja $z = (x \ , \ y)$, temos:
\begin{matrix} |z-3i|^2 &=& x^2 + (y-3)^2 = [x^2 + (y-3)^2 \ , \ 0] &=& (9,0)
\end{matrix} \begin{matrix}
x^2 + (y-3)^2 = 9 & \color{royalblue}{(1)}
\end{matrix}
Continuando,
\begin{matrix} |z+i|^2 &=& x^2 + (y+1)^2 &=& [x^2 + (y+1)^2 \ , \ 0] \\ \\
|z-2-i|^2 &=& (x-2)^2 + (y-1)^2 &=& [(x-2)^2+ (y-1)^2 \ , \ 0]
\end{matrix}
Segundo enunciado,
\begin{matrix} [x^2 + (y+1)^2 \ , \ 0] &=& [(x-2)^2+ (y-1)^2 \ , \ 0] \\ \\ x^2 + (y+1)^2 &=& (x-2)^2+ (y-1)^2
\end{matrix} \begin{matrix} x+ y = 1 & \color{royalblue}{(2)}
\end{matrix}
$-$ Substituindo $(2)$ em $(1)$, encontramos,
\begin{matrix} x_1 = -1 + \frac{\sqrt{14}}{2} &e& x_2 = 1 - \frac{\sqrt{14}}{2} \\ \\ y_1 = 2 - \frac{\sqrt{14}}{2} &e& y_2 = 2 + \frac{\sqrt{14}}{2}
\end{matrix}
$-$ Assim, os dois complexos, $z_1$ e $z_2$, são:
\begin{matrix}z_1 = (-1 + \frac{\sqrt{14}}{2} \ \ , \ \ 2 - \frac{\sqrt{14}}{2}) &e& z_2 = (-1 - \frac{\sqrt{14}}{2} \ \ , \ \ 2 + \frac{\sqrt{14}}{2})
\end{matrix}
$-$ Fazendo $z_1.z_2$ temos o produto de todos os elementos de $S$
\begin{matrix} z_1.z_2 = -3 + 3i \\ \\ Letra \ (D)
\end{matrix}
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