Em um triângulo $ABC$, sabe-se que o segmento $AC$ mede $2\ cm$. Sejam $\alpha$ e $\beta$, respectivamente, os ângulos opostos aos segmentos $BC$ e $AC$. A área do triângulo é (em $cm^2$ ) igual a:


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ITA IIIT 26/01/2022 19:27
$-$ Analisando os ângulos \begin{matrix} \alpha + \beta + \hat{C} = 180º &\Rightarrow& \hat{C} = 180º - (\alpha + \beta ) &∴& \sin{\hat{C}} = \sin{(\alpha + \beta)} \end{matrix} $-$ Lei dos senos \begin{matrix} \Large{ \frac{\overline{AC}}{\sin{\beta}} = \frac{\overline{BC}}{\sin{\alpha}} } &\Rightarrow& \overline{BC} = 2. \Large{\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}} \end{matrix} $-$ Área do triângulo \begin{matrix} A &=& \Large{ \frac{\overline{AC} \ . \ \overline{BC} \ . \ \sin{\hat{C}}}{2} } &=& 2. (\sin{\alpha}.\cos{\beta} + \sin{\beta}.\cos{\alpha}) . \Large{\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}} \end{matrix} \begin{matrix} A = 2.\sin{\alpha}^2.\cot{\beta} + 2.\sin{\alpha}.\cos{\alpha} \\ \\ \color{gray}{\sin{2\alpha} =2.\sin{\alpha}.\cos{\alpha} } \\ \\ \fbox{$A = 2.\sin{\alpha}^2.\cot{\beta} + 2.\sin{2\alpha}$} \\ \\ Letra \ (A) \end{matrix}
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