São dadas as parábolas $p_1: y = - x^2- 4x - 1$ e $p_2: y = x^2- 3x + 11/4$ cujos vértices são denotados, respectivamente, por $V_1$ e $ V_2$. Sabendo que $r$ é a reta que contém $V_1$ e $V_2$, então a distância de $r$ até à origem é:


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ITA IIIT 03/04/2022 00:49
Segundo as equações das parábolas: \begin{matrix} y - \color{royalblue}{3} = (-1)(x^2 +4x +1) - \color{royalblue}{3} &,& y = x^2 - 2\left(\dfrac{3}{2}\right)x + \dfrac{9}{4} + \dfrac{2}{4} \\ \\ (y -3)(-1) =(x+2)^2 && \left(y - \dfrac{1}{2}\right) = \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 \\ \\ V_1: (-2,3) & & V_2: \left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}\right) \end{matrix}A partir de dois pontos da reta $(t)$ podemos encontrar sua equação utilizando o $\text{algoritmo de área}$ ou a $\text{condição de alinhamento entre três pontos}$, veja: \begin{matrix} \begin{vmatrix} x & y \\ -2 & 3 \\ \dfrac{3}{2} & \dfrac{1}{2} \\ x & y \end{vmatrix} &=& 3x - 1 +\dfrac{3}{2}y +2y - \dfrac{9}{2} -\dfrac{1}{2}x &=& 0 \end{matrix}Assim, têm-se a reta: $\fbox{$t: \ 5x + 7x -11 = 0$}$ $\color{orangered}{Obs:}$ Você poderia encontrar essa mesma equação a partir do coeficiente angular da reta $t$. Com conhecimento da equação da reta, e da origem $(0,0)$, basta aplicar a $\text{distância entre ponto e reta}$, distância essa que denotaremos por $(d)$: \begin{matrix} d = {\dfrac{|5\cdot 0 + 7\cdot 0 -11|}{\sqrt{5^2 + 7^2}}} &\therefore& \fbox{$ d = \dfrac{11}{\sqrt{74}} $} \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (E) \end{matrix}
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