São dadas as retas $$r: x - y + 1 + \sqrt2 = 0$$$$s: \sqrt3 x + y - 2 + \sqrt3 = 0$$e a circunferência $C: x^2+ 2x + y^2 = 0$. Sobre a posição relativa desses três elementos, podemos afirmar que:


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ITA IIIT 26/01/2022 18:46
$•$ $\text{As restas são paralelas?}$ $-$ Retas paralelas apresentam mesmo coeficiente angular, analisando o coeficiente de cada reta, temos: \begin{matrix} m_r = 1 &,& m_s = -\sqrt{3} \end{matrix} \begin{matrix} \fbox{$ m_r \ne m_s $} &\Rightarrow& \text{Não são paralelas} \end{matrix} $•$ $\text{As restas são perpendiculares?}$ $-$ Se as retas são perpendiculares, isso quer dizer que: \begin{matrix} m_r \ . \ m_s = -1 \end{matrix} \begin{matrix} \fbox{$ m_r \ . \ m_s \ne -1 $} &\Rightarrow& \text{Não são perpendiculares} \end{matrix} $• \ \text{Resolução I: Distância entre ponto e reta}$ $-$ Pela circunferência do enunciado, podemos escrever: \begin{matrix} (x^2 + 2x + \color{royalblue}{1}) + (y-0)^2 = \color{royalblue}{1} &\Rightarrow& (x -1)^2 + (y-0)^2 =1^2 &\Rightarrow& \fbox{$ \begin{matrix} R = 1 \ \ , \ \ C: (1 \ , \ 0) \end{matrix}$} \end{matrix} $-$ A distância entre o centro da circunferência à reta $s$ \begin{matrix} d = \Large{ \frac{|a.x + b.y + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} } &,& d_{s} = \Large{ \frac{|\sqrt{3}.1 + 1.0 + (\sqrt{3}-2)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} } &\Rightarrow& \fbox{$d_s = 1 =R$} \end{matrix} $-$ A distância entre o centro da circunferência à reta $r$ \begin{matrix} d_{r} &=& \Large{ \frac{|1.1 + (-1).0 + (\sqrt{2}+1)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} } &\Rightarrow& \fbox{$d_r = 1 =R$} \end{matrix} Assim, ambas são tangentes à $C$, além de claro, serem concorrentes. $• \ \text{Resolução II: Equação de segundo grau}$ $-$ Ser tangente à circunferência significa ter intersecção em apenas um ponto, isto é, ao substituir $x$ ou $y$ de uma das restas na equação da circunferência, o delta $(\Delta)$ da equação de segundo grau formada deve ser igual a zero. Dessa forma, vamos substituir $y$ em ambos os casos: • resta $s$ \begin{matrix} x^2 + 2x + [(2-\sqrt{3}) - \sqrt{3}x]^2 = 0 \\ \Downarrow \\ x^2 + x.(2-\sqrt{3}) + (\frac{7}{4} - \sqrt{3}) = 0 \\ \Downarrow \\ \Delta = 0 \end{matrix} • resta $r$ \begin{matrix} x^2 + 2x + [x + (1-\sqrt{2})]^2 = 0 \\ \Downarrow \\ x^2 + x.(2+\sqrt{2}) + (\frac{3}{2} + \sqrt{2}) = 0 \\ \Downarrow \\ \Delta = 0 \end{matrix} Portanto, $r$ e $s$ são tangentes à $C$. \begin{matrix} Letra \ (E) \end{matrix}
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