Seja $a \in \mathbb{R}, a > 0$ e $a\neq 1$ e considere a matriz $A$: $$A = \left[\begin{array}{ll} \log_a3a & \log_{10}(3a)^2\\ \log_a1/a & -\log_aa\\ \log_a1 & \log_{10}1 \end{array}\right]$$Para que a característica de $A$ seja máxima, o valor de $a$ deve ser tal que:


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ITA IIIT 20/02/2022 22:19
$-$ Essa talvez seja uma das questões mais diferentes sobre matrizes no ITA, trata-se da característica de uma matriz, o que não é a coisa mais vista do mundo à nível médio. Por isso, comecemos analisando os logaritmos, deles, podemos escrever a matriz como: \begin{matrix} A&=& \begin{bmatrix} \log_a^{3a} && 2\log_{10}^{3a} \\ -1 && - 1 \\ 0 && 0 \end{bmatrix} \end{matrix} $-$ Essa parte é a mais difícil em termos algébricos, mas a mais fácil em termos teóricos. Dessa forma, vamos fazer uma súmula da característica de uma matriz, em tese, precisa-se ter conhecimento que toda matriz nula possui característica zero, do contrário, dizemos que $A$ tem característica $r$, na qual deve respeitar duas preposição: $1^{\circ}:$ existe uma submatriz $r \times r$ em que o determinante é diferente de zero. $2^{\circ}:$ todas as outras submatrizes quadradas de ordem superior a $r \times r$ tem determinante igual a zero. $-$ A segunda preposição é passível de ignorarmos na situação atual, em vista de haver apenas uma ordem de submatriz quadrada possível, a $2 \times 2$. Desse modo, atente à primeira preposição, dela, sabemos que há apenas uma submatriz $\text{que pode}$ ter determinante diferente de zero, no caso: \begin{matrix} B &=& \begin{bmatrix} \log_a^{3a} && 2\log_{10}^{3a} \\ -1 && - 1 \end{bmatrix} \end{matrix} $-$ Repare o fato que, a característica da matriz será $r$, pois a submatriz está em $r \times r$, isto é, o máximo em questão é igual a ordem da submatriz, no nosso caso, será $2$. Em suma, a segunda preposição garante que $r$ sempre seja a máxima, portanto, devemos apenas nos preocupar com a matriz ser diferente de zero, requisito da primeira preposição. \begin{matrix} \begin{vmatrix} \log_a^{3a} && 2\log_{10}^{3a} \\ -1 && - 1 \end{vmatrix} &=& 2\log_{10}^{3a} - \log_a^{3a} &\ne& 0 \end{matrix} Continuando, \begin{matrix} 2.\Large{(\frac{\log_{a}^{3a} }{\log_{a}^{10} }}) &-& \log_a^{3a} &\ne& 0 \\ \\ 2.{(\log_{a}^{3a} \ . \ \log_{10}^{a} }) &-& \log_a^{3a} &\ne& 0 \\ \\ (2 \ . \ \log_{10}^{a} - 1) &.& \log_a^{3a} &\ne& 0 \end{matrix} • $ (2 \ . \ \log_{10}^{a} - 1) \ne 0$ \begin{matrix} \log_{10}^{a} \ne \large{\frac{1}{2}} &\Rightarrow& \fbox{$a \ne \sqrt{10}$} \end{matrix} • $ \log_a^{3a} \ne 0$ \begin{matrix} \log_a^{3} + 1 \ne 0 &\Rightarrow& \fbox{$a \ne 1/3$} \\ \\ &Letra \ (B)& \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Como a questão envolve um bom conhecimento teórico, e isso requer muita explicação, as propriedades do logaritmo ficam triviais, isto é, o menor dos problemas. Todavia, alguns adendos: \begin{matrix} \log_a^b = \large{\frac{1}{\log_b^a}} &,& \log_a^{b^2} = 2\log_a^b \end{matrix}
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