Essa talvez seja uma das questões mais diferentes sobre matrizes no ITA, trata-se da característica de uma matriz, o que não é a coisa mais vista do mundo à nível médio. Por isso, comecemos analisando os logaritmos, deles, podemos escrever a matriz como: \begin{matrix} A&=& \begin{bmatrix} \log_a^{3a} && 2\log_{10}^{3a} \\ -1 && - 1 \\ 0 && 0 \end{bmatrix} \end{matrix}Essa parte é a mais difícil em termos algébricos, mas a mais fácil em termos teóricos. Dessa forma, vamos fazer uma súmula da característica de uma matriz, em tese, precisa-se ter conhecimento que toda matriz nula possui característica zero, do contrário, dizemos que $A$ tem característica $r$, na qual deve respeitar duas preposições: $1^{\circ}:$ existe uma submatriz $r \times r$ em que o determinante é diferente de zero. $2^{\circ}:$ todas as outras submatrizes quadradas de ordem superior a $r \times r$ tem determinante igual a zero. A segunda preposição é passível de ignorarmos na situação atual, em vista de haver apenas uma ordem de submatriz quadrada possível, a $2 \times 2$. Desse modo, atente à primeira preposição, dela, sabemos que há apenas uma submatriz $\text{que pode}$ ter determinante diferente de zero, no caso: \begin{matrix} B &=& \begin{bmatrix} \log_a^{3a} && 2\log_{10}^{3a} \\ -1 && - 1 \end{bmatrix} \end{matrix} Repare o fato que, a característica da matriz será $r$, pois a submatriz está em $r \times r$, isto é, o máximo em questão é igual a ordem da submatriz, no nosso caso, será $2$. Em suma, a segunda preposição garante que $r$ sempre seja a máxima, portanto, devemos apenas nos preocupar com a matriz ser diferente de zero, requisito da primeira preposição. \begin{matrix} \begin{vmatrix} \log_a^{3a} && 2\log_{10}^{3a} \\ -1 && - 1 \end{vmatrix} &=& 2\log_{10}^{3a} - \log_a^{3a} &\ne& 0 \end{matrix}Continuando,\begin{matrix} 2\cdot \left(\dfrac{\log_{a}^{3a} }{\log_{a}^{10}} \right) &-& \log_a^{3a} &\ne& 0 \\ \\ 2\cdot {(\log_{a}^{3a} \cdot \log_{10}^{a} }) &-& \log_a^{3a} &\ne& 0 \\ \\ (2 \cdot \log_{10}^{a} - 1) &\cdot & \log_a^{3a} &\ne& 0 \end{matrix} • $ (2 \cdot \log_{10}^{a} - 1) \ne 0$ \begin{matrix} \log_{10}^{a} \ne {\dfrac{1}{2}} &\Rightarrow& \fbox{$a \ne \sqrt{10}$} \end{matrix} • $ \log_a^{3a} \ne 0$ \begin{matrix} \log_a^{3} + 1 \ne 0 &\Rightarrow& \fbox{$a \ne 1/3$} \\ \\ &Letra \ (B)& \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Como a questão envolve um bom conhecimento teórico, e isso requer muita explicação, as propriedades do logaritmo ficam triviais, isto é, o menor dos problemas. Todavia, alguns adendos: \begin{matrix} \log_a^b = {\dfrac{1}{\log_b^a}} &,& \log_a^{b^2} = 2\log_a^b \end{matrix}