A aresta de um cubo mede $x\ cm$. A razão entre o volume e a área total do poliedro cujos vértices são centros das faces do cubo será:


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ITA IIIT 21/10/2021 06:11
$-$ O problema em questão trata dos $Poliedros \ de \ Platão$, no caso, o Cubo (um hexaedro regular), também conhecido como "A Terra", além disso, o Octaedro, conhecido como "o Ar", que forma-se ao ligar os centros das faces do Cubo. Como o problema é puramente de geometria espacial, vale ressaltar a importância do esboço, o qual ajuda muito nesses casos. Todavia, se você tiver alguns resultados notáveis na cabeça, e uma boa imaginação, pode-se resolver rapidamente. $\color{orangered}{Obs:}$ Estou partindo do pressuposto que você tem o conhecimento prévio das figuras e sabe que ambos são regulares. • Esboce ou imagine a figura, veja que a distância do vértice do octaedro ao centro é metade da aresta do Cubo, denotemos a aresta do Octaedro de $a$. • Perceba que, forma-se 4 triângulos retângulos na base do octaedro, logo temos: \begin{matrix} a^2 =({\large{\frac{x}{2}}})^2 + ({\large{\frac{x}{2}}})^2 = {\large{\frac{x^2}{2}}} &\Rightarrow & a= {\large{\frac{x}{\sqrt{2}}}} \end{matrix}$-$ Como são regulares, todas suas arestas são iguais, visto que, o octaedro possui 8 faces triangulares e altura igual metade da aresta do cubo, vejamos: \begin{matrix} \text{Área total} = 8 \cdot {\large{(\frac{a^2.\sqrt{3}}{4})}} &,& \text{Volume} = 2 \cdot {\large{(\frac{1}{3} \cdot \frac{x}{2} \cdot {\normalsize{a^2 }})}} \end{matrix} $-$ Então a razão entre ${\large{\frac{\text{Volume}}{\text{Área Total}} }}$: \begin{matrix}{\large{\frac{\text{Volume}}{\text{Área Total}} }} = {\Large{\frac{2. (\frac{1}{3}.\frac{x}{2}. a^2) }{8. (\frac{a^2.\sqrt{3}}{4}) }}} = {\large{\frac{\sqrt{3}}{18}}}x \ \ cm \\ \\ Letra \ (B) \end{matrix}
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