Seja $\alpha$ um número real tal que $\alpha > 2(1 + \sqrt{2})$ e considere a equação $x^2- \alpha x + \alpha + 1 = 0.$ Sabendo que as raízes dessa equação são cotangentes de dois dos ângulos internos de um triângulo, então o terceiro ângulo interno desse triângulo vale:


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ITA IIIT 26/01/2022 16:36
$-$ A priori, é importante perceber que a equação de segundo grau admite raízes reais, em vista da desigualdade do enunciado. Dessa forma, aplicando $\text{Girard}$, podemos encontrar: \begin{cases} \cot{x_1} &+& \cot{x_2} &=& \alpha \\ \cot{x_1} &.& \cot{x_2} &=& \alpha + 1 \end{cases} $-$ Com conhecimento da $\text{Cotangente da Soma}$: \begin{matrix} \cot{ (x_1 + x_2)} &=& \Large{ \frac{ \cot{x_1} . \cot{x_2} - 1}{ \cot{x_1} + \cot{x_2}} } \\ \\ \cot{ (x_1 + x_2)} &=& \Large{ \frac{(\alpha +1) -1 }{\alpha} } \\ \\ \cot{ (x_1 + x_2)} &=& 1 \end{matrix} \begin{matrix} \fbox{$(x_1 + x_2) = 45^{\circ}$} \end{matrix} Assim, \begin{matrix} \fbox{$x_3= 135^{\circ}$} \\ \\ Letra \ (D) \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ $\text{Cotangente da Soma}$ \begin{matrix} \cot{(a+b)} &=& \Large{ \frac{\cos{(a+b)}}{\sin{(a+b)}}} & = & \Large{ \frac{\cos{a}.\cos{b} - \sin{a}.\sin{b}}{\sin{a}.\cos{b}+\sin{b}.\cos{a}}} . \color{royalblue}{\frac{\sin{a}.\sin{b}}{\sin{a}.\sin{b}}} \end{matrix} \begin{matrix} \cot{ (a + b)} &=& \Large{ \frac{ \cot{a} . \cot{b} - 1}{ \cot{a} + \cot{b}} } \end{matrix}
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