Considere $A$ e $B$ matrizes reais $2\times 2$, arbitrárias. Das afirmações abaixo assinale a verdadeira. No seu caderno de respostas, justifique a afirmação verdadeira e dê exemplo para mostrar que cada uma das demais é falsa.


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ITA IIIT 20/02/2022 19:02
$• \ \text{Alternativa (A):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ Uma matriz nula é aquela completa por zeros, note que, para uma matriz ser inversível, ela deve possuir determinante diferente de zero, o que pode acontecer com diversas matrizes além da nula. $• \ \text{Alternativa (B):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ A propriedade correta seria: $(AB)^t = B^tA^t$ $• \ \text{Alternativa (C):}$ $\color{royalblue}{\text{Correta}}$ Com conhecimento do $\text{Teorema de Binet}$, não há dúvidas que essa alternativa esteja correta, veja que o teorema afirma que o produto de matrizes quadradas é igual ao produto de seus determinantes: \begin{matrix} det(AB) &=& det(BA) &=& det(A).det(B) \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ O $\text{Teorema de Binet}$ na verdade é para o produto de duas matrizes quadradas, já a generelização, descobriu-se tempos depois, chamar-se-ia de $\text{Teorema de Binet-Cauchy}$ $• \ \text{Alternativa (D):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ Vide a explicação anterior, na verdade, teríamos: $det(A^2) = det(A).det(A) $ $• \ \text{Alternativa (E):}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ \begin{matrix} (A+B)(A-B) &=& AA -AB + BA - BB &=& A^2 \underbrace{-AB + BA}_* - B^2 \end{matrix} $*:$ Atente ao fato que, a multiplicação de matrizes (no geral) não é comutativa.
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