Conhecida as propriedades do logaritmo, assim como a noção da condição de existência, pode-se escrever: \begin{matrix} \log_{a^{-1}}{[\log_{a}{(x^2-15)}]} = -\log_{a}{[\log_{a}{(x^2-15)}]} > 0 \end{matrix}Então,\begin{matrix} \log_{a}{[\log_{a}{(x^2-15)}]} < 0 &\Rightarrow& \begin{cases} \log_{a}{(x^2-15)}> 0 \\ \log_{a}{(x^2-15)} < a^0 \end{cases}&\Rightarrow& \begin{cases} x^2-15 > a^0 \\ x^2-15 < a^{a^0} \end{cases} \end{matrix}Assim, \begin{matrix} a^0 <x^2-15 < a^{a^0} &\Rightarrow& 1 < x^2 - 15 < a &\therefore& 4 < x < \sqrt{15+a} \end{matrix}Segundo enunciado, $ x \in ]4,5[$, portanto: \begin{matrix} x < \sqrt{15+a} = 5 &\therefore& a = 10 &\tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (E) \end{matrix}