Sejam $A$ e $B$ subconjuntos não vazios de $R$, e considere as seguintes afirmações:

  • I- $(A - B)^C \cap (B \cup A^C)^C= \phi$

  • II- $(A - B^C)^C= B - A^C$

  • III- $[(A^C- B)\cap (B - A)]^C= A$

Sobre essas afirmações podemos garantir que:


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ITA IIIT 19/12/2021 17:47
Recomendo, caso necessário, esboçar os diagramas de Euler-Venn, pois alguns resultados podem ser $justificados$ visualmente. Ademais, uma propriedade importante: $ => \ \ Leis \ de \ Morgan:$ \begin{matrix} (A \cup B)^c = (A^c \cap B^c) \\ (A \cap B)^c = (A^c \cup B^c) \end{matrix} $• \ Afirmativa \ I:$ $\color{yellowgreen}{Correta}$ \begin{matrix} \color{gray}{\fbox{$\begin{matrix}(A - B) = (A \cap B) \\ (A \cup B^c)^c = (A^c \cap B) = (A \cap B) \\ A^c \cap A = \phi \end{matrix}$}} \end{matrix} \begin{matrix} (A-B)^c \cap (B \cup A^c)^c = (A \cap B)^c \cap (B^c \cap A) \\ (A \cap B)^c \cap (B^c \cap A) = (A \cap B)^c \cap (A \cap B) \\ \\ (A \cap B) = X \\ \\ \fbox{$X^c \cap X = \phi$} \end{matrix} $• \ Afirmativa \ II:$ $\color{orangered}{Incorreta}$ \begin{matrix} (A-B^c)^c = (A \cap B)^c \\ (B - A^c) = (A \cap B) \\ \\ (A-B^c)^c \ ? \ (B - A^c) \\ (A \cap B)^c \ ? \ (A \cap B) \\ \\ \fbox{$(A \cap B)^c \ne (A \cap B)$ } \end{matrix} $• \ Afirmativa \ III:$ $\color{orangered}{Incorreta}$ \begin{matrix} \color{gray}{\fbox{$\begin{matrix} A^c =U - A \\ U: Universo \ (nosso \ R \ em \ questão)\end{matrix}$}} \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ [(A^c - B) \cap (B-A)]^c} \\ \underbrace{ [(A \cap B) \cap (B-A)]^c} \\ [\phi]^c \\ \\ [\phi]^c = R - \phi =R \\ \\ \fbox{$[(A^c - B) \cap (B-A)]^c = R \ne A$} \\ \\ \\ Letra \ (A) \end{matrix}
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