Sejam $A$ e $B$ subconjuntos não vazios de $R$, e considere as seguintes afirmações:

  • I- $(A - B)^C \cap (B \cup A^C)^C= \phi$

  • II- $(A - B^C)^C= B - A^C$

  • III- $[(A^C- B)\cap (B - A)]^C= A$

Sobre essas afirmações podemos garantir que:


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ITA IIIT 19/12/2021 17:47
Recomendo, caso necessário, esboçar os diagramas de Euler-Venn, pois alguns resultados podem ser $justificados$ visualmente. Além disso, uma propriedade importante: $ \text{Leis de Morgan:}$ \begin{matrix} (A \cup B)^c = (A^c \cap B^c) \\ (A \cap B)^c = (A^c \cup B^c) \end{matrix} $• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{#3368b8}{\text{Correta}}$ \begin{matrix} \color{gray}{\fbox{$\begin{matrix}(A - B) = (A \cap B^c) \\ (A \cup B^c)^c = (A^c \cap B) \\ A^c \cap A = \phi \end{matrix}$}} \end{matrix} \begin{matrix} (A-B)^c \cap (B \cup A^c)^c = (A \cap B^c)^c \cap (B^c \cap A) = \phi \end{matrix}$• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ \begin{matrix} (A-B^c)^c = (A \cap B)^c \\ (B - A^c) = (A \cap B) \\ \\ (A \cap B)^c \ne (A \cap B) \\ \\ \fbox{$ (A-B^c)^c \ne (B - A^c) $ } \end{matrix}$• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{orangered}{\text{Incorreta}}$ \begin{matrix} \color{gray}{\fbox{$\begin{matrix} A^c =U - A \\ U: Universo \ (nosso \ R \ em \ questão)\end{matrix}$}} \end{matrix} \begin{matrix} { [(A^c - B) \cap (B-A)]^c} \\ { [(A^c - B)^c \cup (B-A)^c]} \\ { [(B-A) \cup (B-A)^c]} \\ [\phi]^c \\ \\ [\phi]^c = R - \phi =R \\ \\ \fbox{$[(A^c - B) \cap (B-A)]^c = R \ne A$} \\ \\ \\ Letra \ (A) \end{matrix}
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Gabriel Rodrigues 05/10/2022 18:52
$\textbf{1° Solução}$: A primeira solução e a mais recomendável para a primeira fase, seria fazer o diagrama de Euler-Venn para cada um dos casos e verificar se a alternativa está correta. $\textbf{2° Solução}$: Essa segunda solução é uma das possíveis para utilizar em uma prova dissertativa. $I) \ (A-B)^{c} \cap (B \cup A^{c})^{c} \ \color{green}{(Correto)}$ $$\{x| x \in U \land x \notin (A \cap B^{c}) \land x \notin (A^{c} \cup B)\}$$ $$\{x| x \in U \land (x \notin A \land x \notin B^{c}) \land (x \notin A^{c} \land x \notin B)\}$$ $$\{x| x \in U \land (x \notin A \land x \notin A^{c}) \land (x \notin B \land x \notin B^{c})\}$$ $$\{x| x \in U \land (x \in \{\}) \land (x \in \{\})\} = \{\}$$ $II) \ (A-B^{c})^{c} = B - A^{c} \ \color{red}{(Falso)}$ $$\{x| x \in U \land x \notin (A^{c} \cap B)\}$$ $$\{x| x \in U \land x \notin A^{c} \land x \notin B)$$ $III) \ [(A^{c} - B) \cap (B - A)]^{c} = A \ \color{red}{(Falso)}$ $$\{x| x \in U \land x \notin (A^{c} \cap B^{c}) \land x \notin (B \cap A^{c})\}$$ $$\{x| x \in U \land x \notin A^{c} \land x \notin B^{c} \land x \notin B \land x \notin A^{c}\} = \{\}^{c} = U$$
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