Seja $k \in \mathbb{R} $ e $ k > 0 $ , tal que $ x_{i+1} = x_{i}k$ $\therefore \sum^{4}_{n = 1} f(\dfrac{x_{i}}{x_{i+1}}) =\sum^{4}_{n = 1} f(\dfrac{x_{i}}{x_{i}k}) = \sum^{4}_{n = 1} f(\dfrac{1}{k}) = 4f(\dfrac{1}{k}) = -2f(2x_{1}) $ $= -2(f(2) + f(x_{1})) \implies f(2) + f(x_{1}) = -2f(\dfrac{1}{k}) \implies f(2) = -f(x_{1}) -2f(\dfrac{1}{k}) $ Agora iremos manipular a equação $\sum^{5}_{n = 1}f(x_{i}) = 13f(2) + 2f(x_{1})$ : $\sum^{5}_{n = 1}f(x_{i}) = f(x_{1}) + f(x_{2}) + f(x_{3}) + f(x_{4})+ f(x_{5})$ $ = f(x_{1}) + f(x_{1}k) + f(x_{1}k^2) + f(x_{1}k^3)+ f(x_{1}k^4)$ $= f(x_{1}) + f(x_{1}) + f(k) + f(x_{1}) + 2f(k) + f(x_{1}) + 3f(k) + f(x_{1}) + 4f(k) $ $ = 5f(x_{1}) + 10f(k) = 13f(2) + 2f(x_{1}) \implies 13f(2) = 3f(x_{1}) + 10f(k) $ $ = 13 (-f(x_{1}) -2f(\dfrac{1}{k})) =-13f(x_{1}) -26f(\dfrac{1}{k})= 3f(x_{1}) + 10f(k) $ $ \implies -16f(x_{1}) = 26f(\dfrac{1}{k}) + 10f(k) = 10( f(k) + f(\dfrac{1}{k})) + 16f(\dfrac{1}{k})$ $ = 10f(1) + 16 f(\dfrac{1}{k}) = 16 f(\dfrac{1}{k}) = -16f(x_{1}) = \implies f(\dfrac{1}{k}) = -f(x_{1}) $ $ \therefore f(2) = -f(x_{1}) -2f(\dfrac{1}{k})) = -f(x_{1}) -2(-f(x_{1})) = f(2) = f(x_{1})$ Como a função f é injetiva , temos portanto que $x = 2$ $\textbf{Resposta : Letra B}$

Se a função é injetora, isso quer dizer: \begin{matrix} f(x) = f(y) &\Longleftrightarrow& x = y \end{matrix}Do enunciado, podemos escrever: \begin{matrix} f(xy) = f(x) + f(y) & \Longrightarrow& f(q^n) = n\cdot f(q) \end{matrix}Do primeiro somatório, temos: \begin{matrix} f(x_1) + f(x_1.q) + f(x_1.q^2) + f(x_1.q^3) + f(x_1.q^4) = 13.f(2) + 2.f(x_1) \\ \\ \fbox{$3f(x_1) + 10f(q) = 13f(2)$} \end{matrix}Do segundo somatório, temos: \begin{matrix} f\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right) + f\left(\dfrac{x_2}{x_3}\right) + f\left(\dfrac{x_3}{x_4}\right) + f\left(\dfrac{x_4}{x_5}\right) = -2 \cdot f(2x_1) \\ \\ 4f\left(\dfrac{1}{q}\right)= -2[f(2) + f(x_1)] \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ $f\left(q \cdot \dfrac{1}{q}\right) = f(q) + f\left(\dfrac{1}{q}\right) \Rightarrow f\left(\dfrac{1}{q}\right) = - f(q)$ \begin{matrix} \fbox{$f(x_1) - 2f(q) = -f(2)$} \end{matrix}Resolvendo nosso pequeno sistema, vamos encontrar: \begin{matrix} f(x_1) = f(2)&\therefore& \fbox{$x_1 = 2$} \end{matrix}\begin{matrix} Letra \ (B) \end{matrix}