Seja $f :\mathbb{R}^{*}_{+} \to \mathbb{R}$ uma função injetora tal que $f(1) = 0$ e $f(x.y) = f(x) + f(y)$ pra todo $x > 0$ e $y > 0$. Se $x_1, x_2, x_3,x_4$ e $x_5$ formam nessa ordem uma progressão geométrica, onde $x_i> 0$ para $i = 1, 2, 3, 4, 5$ e sabendo que $$\sum_{n=1}^{5} f(x_i) = 13f(2) + 2f(x_1)$$$$\sum_{n=1}^{4} f\left(\dfrac{x_i}{x_{i+1}}\right) = -2f(2x_1)$$o valor de $x_1$ é:


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ITA IIIT 30/12/2021 22:42
$-$ Se a função é injetora, isso quer dizer: \begin{matrix} f(x) = f(y) \Longleftrightarrow x = y \end{matrix} $-$ Do enunciado, podemos escrever: \begin{matrix} f(x.y) = f(x) + f(y) \Longrightarrow f(q^n) = n.f(q) \end{matrix} $-$ Do primeiro somatório, temos: \begin{matrix} f(x_1) + f(x_1.q) + f(x_1.q^2) + f(x_1.q^3) + f(x_1.q^4) = 13.f(2) + 2.f(x_1) \\ \\ \fbox{$3.f(x_1) + 10.f(q) = 13.f(2)$} \end{matrix} $-$ Do segundo somatório, temos: \begin{matrix} f(\frac{x_1}{x_2}) + f(\frac{x_2}{x_3}) + f(\frac{x_3}{x_4}) + f(\frac{x_4}{x_5}) = -2.f(2.x_1) \\ \\ 4.f(\frac{1}{q})= -2.[f(2) + f(x_1)] \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ $f(q.\frac{1}{q}) = f(q) + f(\frac{1}{q}) \Longrightarrow f(\frac{1}{q}) = - f(q)$ \begin{matrix} \fbox{$f(x_1) - 2.f(q) = -f(2)$} \end{matrix} $-$ Resolvendo nosso pequeno sistema, vamos encontrar: \begin{matrix} f(x_1) = f(2) \\ \\ \fbox{$x_1 = 2$} \\ \\ Letra \ (B) \end{matrix}
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