Sabe-se segundo enunciado que a base é um triângulo equilátero, denotemos os lados desse triângulo - arestas da base - de $a$. Nessa perspectiva, como a área da base é igual ao quadrado da altura $H$ da pirâmide, veja a figura abaixo: \begin{matrix} A_{Base} =H^2 &\Rightarrow& {{\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}}} = H^2 &\therefore& H = {{\dfrac{a}{2}}}(3)^{1/4} \end{matrix}Se a altura do triângulo da base for $3x$, têm-se:\begin{matrix} 3x = {{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}} &\therefore&x = {{\dfrac{a\sqrt{3}}{6}}} \end{matrix}Pelo item $(2)$, aplicando Pitágoras:\begin{matrix} g^2 = x^2 + H^2 &\therefore& g = \dfrac{a}{2}\sqrt{{{\dfrac{3\sqrt{3} +1}{3}}}} \end{matrix}Por uma semelhança de triângulos no item $(2)$:\begin{matrix} {\Large{\frac{R}{H-R}}} ={\Large{\frac{x}{g}}} &\Rightarrow& R(\sqrt{3\sqrt{3} + 1}) = H-R &\therefore& {{\dfrac{H}{R}}} = 1 + \sqrt{3\sqrt{3} + 1} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (C) \end{matrix}