Seja $a \in \mathbb{R}$ e considere as matrizes reais $2\times 2$. $$A = \left[\begin{array}{ll} 3^a & -1\\ -1 & 3^a \end{array}\right] \ \ B = \left[\begin{array}{ll} 7^{a-1} & 8^{a-3}\\ 7 & 2^{-3} \end{array}\right]$$O produto $AB$ será inversível se e somente se:


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ITA IIIT 22/10/2021 22:05
Para uma matrix ser inversível é necessário que seu determinante seja diferente de 0. Então: \begin{matrix} \det{(AB)} \ne 0 \end{matrix} • Pelo "Teorema de Binet" \begin{matrix} \det{(AB)} = \det{(A)} . \det{(B)} \end{matrix} $\color{orangered}{Adendo:}$ Teorema de Binet só é válido para matrizes quadradas de mesma ordem! Logo: \begin{matrix} \det{(A)} \ne 0 \\ \det{(B)} \ne 0 \end{matrix} • Analisando o $\det{(A)}$ \begin{matrix} \det{(A)} = 3^{2a} - 1 \\ 3^{2a} - 1 \ne 0 \\ 2a \ne 0 \end{matrix} • Analisando o $\det{(B)}$ \begin{matrix} \det{(B)} = \frac{7^{a-1}}{8} -\frac{7.8^{a-2}}{8} = \frac{7}{8}.(7^{a-2} - 8^{a-2})\\ 7^{a-2} - 8^{a-2} \ne 0 \\ a \ne 2 \end{matrix} Analisando as alternativas, é fácil perceber que a única que corresponde é: \begin{matrix} Letra \ (E) \end{matrix}
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