Seja $a \in \mathbb{R}$ e considere as matrizes reais $2\times 2$. $$A = \left[\begin{array}{ll} 3^a & -1\\ -1 & 3^a \end{array}\right] \ \ B = \left[\begin{array}{ll} 7^{a-1} & 8^{a-3}\\ 7 & 2^{-3} \end{array}\right]$$O produto $AB$ será inversível se e somente se:


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ITA IIIT 22/10/2021 22:05
Para uma matrix ser inversível é necessário que seu determinante seja diferente de 0. Então:\begin{matrix} \det{(AB)} \ne 0 \end{matrix}Pelo "Teorema de Binet" :\begin{matrix} \det{(AB)} = \det{(A)} \cdot \det{(B)} \end{matrix}$\color{orangered}{Adendo:}$ Teorema de Binet só é válido para matrizes quadradas de mesma ordem. Logo:\begin{matrix} \det{(A)} \ne 0 &,& \det{(B)} \ne 0 \end{matrix}Analisando o $\det{(A)}$: \begin{matrix} \det{(A)} = 3^{2a} - 1 &\Rightarrow& 3^{2a} - 1 \ne 0 &\therefore& 2a \ne 0 \end{matrix}Analisando o $\det{(B)}$: \begin{matrix} \det{(B)} = \dfrac{7^{a-1}}{8} -\dfrac{7\cdot 8^{a-2}}{8} = \dfrac{7}{8}\cdot (7^{a-2} - 8^{a-2})\\ \\ 7^{a-2} - 8^{a-2} \ne 0 \\ \\ a \ne 2 \end{matrix}Analisando as alternativas, é fácil perceber que a única que corresponde é: \begin{matrix} Letra \ (E) \end{matrix}
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