Seja $a \in \mathbb{R}$ e considere as matrizes reais $2\times 2$. $$A = \left[\begin{array}{ll} 3^a & -1\\ -1 & 3^a \end{array}\right] \ \ B = \left[\begin{array}{ll} 7^{a-1} & 8^{a-3}\\ 7 & 2^{-3} \end{array}\right]$$O produto $AB$ será inversível se e somente se:
Para uma matrix ser inversível é necessário que seu determinante seja diferente de 0. Então:\begin{matrix} \det{(AB)} \ne 0
\end{matrix}Pelo "Teorema de Binet" :\begin{matrix}
\det{(AB)} = \det{(A)} \cdot \det{(B)} \end{matrix}$\color{orangered}{Adendo:}$ Teorema de Binet só é válido para matrizes quadradas de mesma ordem.
Logo:\begin{matrix}
\det{(A)} \ne 0 &,&
\det{(B)} \ne 0
\end{matrix}Analisando o $\det{(A)}$: \begin{matrix}
\det{(A)} = 3^{2a} - 1 &\Rightarrow&
3^{2a} - 1 \ne 0 &\therefore& 2a \ne 0
\end{matrix}Analisando o $\det{(B)}$: \begin{matrix}
\det{(B)} = \dfrac{7^{a-1}}{8} -\dfrac{7\cdot 8^{a-2}}{8} = \dfrac{7}{8}\cdot (7^{a-2} - 8^{a-2})\\ \\
7^{a-2} - 8^{a-2} \ne 0 \\ \\
a \ne 2
\end{matrix}Analisando as alternativas, é fácil perceber que a única que corresponde é: \begin{matrix}
Letra \ (E)
\end{matrix}
