Seja $a \in \mathbb{R}$ e considere as matrizes reais $2\times 2$. $$A = \left[\begin{array}{ll} 3^a & -1\\ -1 & 3^a \end{array}\right] \ \ B = \left[\begin{array}{ll} 7^{a-1} & 8^{a-3}\\ 7 & 2^{-3} \end{array}\right]$$O produto $AB$ será inversível se e somente se:
Para uma matrix ser inversível é necessário que seu determinante seja diferente de 0. Então:
\begin{matrix} \det{(AB)} \ne 0
\end{matrix}
• Pelo "Teorema de Binet"
\begin{matrix}
\det{(AB)} = \det{(A)} . \det{(B)} \end{matrix}
$\color{orangered}{Adendo:}$ Teorema de Binet só é válido para matrizes quadradas de mesma ordem!
Logo:
\begin{matrix}
\det{(A)} \ne 0 \\
\det{(B)} \ne 0
\end{matrix}
• Analisando o $\det{(A)}$
\begin{matrix}
\det{(A)} = 3^{2a} - 1 \\
3^{2a} - 1 \ne 0 \\ 2a \ne 0
\end{matrix}
• Analisando o $\det{(B)}$
\begin{matrix}
\det{(B)} = \frac{7^{a-1}}{8} -\frac{7.8^{a-2}}{8} = \frac{7}{8}.(7^{a-2} - 8^{a-2})\\
7^{a-2} - 8^{a-2} \ne 0 \\
a \ne 2
\end{matrix}
Analisando as alternativas, é fácil perceber que a única que corresponde é:
\begin{matrix}
Letra \ (E)
\end{matrix}
