Se $S$ é o conjunto dos valores de a para os quais o sistema $$\begin{cases} x + y + z = 0\\ x + (\log_3a)^2y + z = 0\\ 2x + 2y + (\log_327/a)z = 0 \end{cases}$$em que há indeterminação, então:


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ITA IIIT 20/02/2022 18:43
A priori, sabemos que o sistema é homogêneo, isto é, possui uma solução trivial, o que infere ele ser determinado ou indeterminado. Dessa forma, com conhecimento das $\text{Regras de Cramer}$, forcemos a condição de indeterminação:\begin{matrix} \begin{vmatrix} 1 && 1 && 1 \\ 1 && (\log_3^a)^2 && 1 \\ 2 && 2 && \log_3{{ \left(27/a\right)}} \end{vmatrix} &=& \begin{vmatrix} (\log_3^a)^2 - 1 && 0 \\ 1 && \log_3{{({3^3/a})}} - 2 \end{vmatrix} &=& [(\log_3^a)^2 - 1] \cdot [\log_3({{{3^3/a}}}) - 2] &=& 0 \end{matrix} • $(\log_3^a)^2 - 1 = 0 $ \begin{matrix} \log_3^a = \pm \ 1 &\Rightarrow& \fbox{$a = 3^{\pm 1}$} \end{matrix} • $\log_3({{{3^3/a}}}) - 2 = 0 $ \begin{matrix} 3\log_3({{{3/a}}}) =2 &\Rightarrow& 3(\log_3^3 - \log_3^a) = 2 &\Rightarrow& \log_3^a = {\dfrac{1}{3}} &\Rightarrow& \fbox{$a = 3^{1/3}$} \end{matrix}Com nossos resultados, não é difícil dizer que: $\color{royalblue}{\fbox{$S \subset [-3 \ , \ 3]$}}$\begin{matrix} Letra \ (A) \end{matrix}
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