Existem algumas abordagens para essa questão, mas uma simples de se fazer é: \begin{matrix} -1 &\le& {{\dfrac{(-1)^n}{n!}}} &\le& 1 \\ \\ -1 &\le& \sin{{\dfrac{n!.\pi}{6}}} &\le& 1 \\ \\ -2 &\le& {{\dfrac{(-1)^n}{n!}}} + \sin{{\dfrac{n!\pi}{6}}} &\le& 2 \end{matrix}Portanto: $A = [-2,2]$ \begin{matrix} Letra \ (C) \end{matrix}

$\textbf(1° Solução)$: Uma possível resolução seria admitir valores pequenos para $n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) e verificar em qual intervalo o conjunto $A$ pertencerá. $$\text{Para} \ n = 0: \ A = \dfrac{1}{0!} + sin \dfrac{0! \cdot \pi}{6} = \dfrac{3}{2}$$ $$\text{Para} \ n = 1: \ A = \dfrac{-1}{1!} + sin \dfrac{1! \cdot \pi}{6} = - \dfrac{1}{2}$$ $$\text{Para} \ n = 2: \ A = \dfrac{1}{2!} + sin \dfrac{2! \cdot \pi}{6} = \dfrac{2 + \sqrt{3}}{2}$$ $$\text{Para} \ n = 3: \ A = \dfrac{-1}{3!} + sin \dfrac{3! \cdot \pi}{6} = - \dfrac{1}{6}$$ Perceba que a solução pertence ao intervalo $[-2,2]$. $\textbf(2° Solução)$: Outra solução possível, seria pensar que o valor $sin \ x$ pertence ao intervalo de $[-1, 1]$ e $\frac{(-1)^n}{n!}$ admite valores entre $[-1, 1]$, portanto, se somarmos ambas as soluções, encontraremos o intervalo $[-2, 2]$. Pensamento alternativo: quais valores para n permite que $\frac{(-1)^n}{n!}$ seja positivo? Apenas para $n$ par, isto é, $n = 2k$, qualquer que seja $k$, n sempre será positivo. Por outro lado, para que $\frac{(-1)^n}{n!}$ seja negativo, $n$ deverá ser ímpar, ou seja, $n = 2k - 1$. Perceba agora que o máximo valor será de $1$ e $-1$ respectivamente para cada caso. Sabendo que $sin \ x$ pertence ao intervalo $[-1, 1$, o resultado será o mesmo.