Uma reta $t$ do plano cartesiano $xOy$ tem coeficiente angular $2a$ e tangência a parábola $y = x^2 - 1$ no ponto de coordenadas $(a, b)$. Se $(c, 0)$ e $(0, d)$ são as coordenadas de dois pontos de $t$ tais que $c > 0$ e $c = -2d$, então $a/b$ é igual a :


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ITA IIIT 02/04/2022 23:15
$• \ \text{Resolução I:}$ $-$ Segundo enunciado, sabemos que $d<0$, além disso, ele nos fornece dois pontos, os quais podemos encontrar a equação da reta $t$, mas antes, escrevendo a equação genérica de $t$, temos: \begin{matrix} t: & y = 2ax +k \end{matrix} Dos dois pontos, $(-2d,0)$ e $(0,d)$ encontramos: \begin{matrix} \begin{vmatrix} x &y \\ -2d & 0 \\ 0 & d \\ x & y \end{vmatrix} &=& (-2d^2) +2dy - xd &=& 0 &&\Rightarrow&& t: & y = \frac{1}{2}x + d \end{matrix} Comparando as expressões: \begin{matrix} 2a = \frac{1}{2} &\therefore& \fbox{$a = \frac{1}{4}$} &,& k = d \end{matrix} $-$ Visto a equação da parábola, ao substituir o ponto de tangência $(a,b)$, têm-se: \begin{matrix} b = a^2 - 1 &\Rightarrow& \fbox{$b= -\frac{15}{16}$} \end{matrix} Por fim, a razão solicitada: \begin{matrix} \fbox{$\large{\frac{a}{b} = -\frac{4}{15}}$} \end{matrix} $• \ \text{Resolução II:}$ $-$ A partir dos pontos pertencentes a reta $t$, temos o coeficiente angular $(m_t)$ como: \begin{matrix} m_t = \frac{(0-d)}{(-2d - 0)} = \frac{1}{2} &,& 2a = m_t &\therefore& \fbox{$a = \frac{1}{4}$} \end{matrix} A partir daqui o raciocínio é análogo. \begin{matrix} Letra \ (A) \end{matrix}
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