Considere todos os números de cinco algarismos formados pela justaposição de $1, 3, 5, 7$ e $9$ em qualquer ordem, sem repetição. A soma de todos esses números está entre:


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ITA IIIT 19/11/2021 15:58
Na matemática, uma boa forma de elucidar uma solução é começar a simplificar as coisas. Dito isso, comecemos fixando um dos algarismos, qual seria o mais simples? A meu ver seria o das unidades, por exemplo: Fixando o número $1$ na casa das unidades, temos $4!$ formas de pôr os demais números sem repetição, isso significa que temos $24$ números com o $1$ nas unidades, exemplos: \begin{matrix} 97.53\color{orangered}{1}= 90.000 + 7.000 + 500 + 30 + \color{orangered}{1} \\ \\ 97.35\color{orangered}{1}= 90.000 + 7.000 + 300 + 50 + \color{orangered}{1} \end{matrix} Veja que em dois possíveis números, podemos somar o número $1$ das unidades duas vezes. Analogamente, temos o mesmo fixando os números $3,5,7 \ e \ 9$ nas unidades, o que significa possuir $24$ números com cada um dos números listados, então somando todas as unidades possíveis, temos: \begin{matrix} 24.(1) + 24.(3) + 24.(5) + 24.(7) + 24.(9) = 24.(1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 600 \end{matrix} E essa será nossa ideia, podemos fazer isso para os algarismos das dezenas, centenas, milhar e dezenas de milhar. Façamos agora para as dezenas: Ao fixar um dos números nas casas das dezenas, temos $4!$ formas de pôr os demais números sem repetição, segue que: \begin{matrix} 24.(10) + 24.(30) + 24.(50) + 24.(70) + 24.(90) = 24.10.(1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 6.000 \end{matrix} Atente ao fato das dezenas, não estamos somando apenas os algarismos $1,3,5,7 \ e \ 9$, estamos somando as dezenas, voltemos ao exemplo anterior: \begin{matrix} 97.5\color{orangered}{3}1= 90.000 + 7.000 + 500 + \color{orangered}{30} + 1 \\ \\ 97.3\color{orangered}{5}1= 90.000 + 7.000 + 300 + \color{orangered}{50} + 1 \end{matrix} Essa ideia tem de estar bem clara, veja que o mesmo acontece às demais casas; centena, milhar e dezena de milhar. Pragmaticamente, seguiremos por: • Centena: \begin{matrix} 24.(100) + 24.(300) + 24.(500) + 24.(700) + 24.(900) = 24.100.(1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 60.000 \end{matrix} • Milhar: \begin{matrix} 24.(1000) + 24.(3000) + 24.(5000) + 24.(7000) + 24.(9000) = 24.1000.(1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 600.000 \end{matrix} • Dezena de Milhar: \begin{matrix} 24.(10000) + 24.(30000) + 24.(50000) + 24.(70000) + 24.(90000) = 24.(10.000).(1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 6.000.000 \end{matrix} Agora, somando tudo que encontramos: \begin{matrix} 6.000.000 + 600.000 + 60.000 + 6.000 + 600 = 6.666.600 \\ \\ 6.10^6 < 6,6666 . 10^6 < 7.10^6 \\ \\ Letra \ (B) \end{matrix}
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