Sejam $z_1$ e $z_2$ números complexos com $|z_1|=|z_2|= 4$. Se $1$ é uma raiz da equação $z_1z^6 + z_2z^3 - 8 = 0$ então a soma das raízes reais é igual a:


img
ITA IIIT 28/02/2022 20:20
$-$ Seja $z_1 = (x \ , \ y)$ e $z_2 = (a \ , \ b)$, assim, têm-se: \begin{matrix} |z_1| =\sqrt{x^2 + y^2} &,& |z_2| =\sqrt{a^2 + b^2} &\Rightarrow& x^2 + y^2 = a^2 + b^2 \end{matrix} Segundo enunciado, $1$ é raiz, então: \begin{matrix} z_1 + z_2 = (x+a \ , \ y+b) = (8,0) &\Rightarrow& x+a = 8 &,& y+b = 0 \end{matrix} Assim, \begin{matrix} \{ x = a = 4 &e& y=b = 0 \} &\Rightarrow&\fbox{$z_1 = (4 \ , \ 0)$} &e& \fbox{$z_2 = (4 \ , \ 0)$} \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Não é difícil encontrar os resultados acima, veja que dos dois primeiros resultados encontramos $x = a = 4$ , já segundo enunciado $|z_1| = |z_2| = 4$ encontramos $y=b=0$. $-$ Dessa forma, a equação do enunciado será na forma: \begin{matrix} z^6 + z^3 - 2 = 0 &\Rightarrow& z_1^3 = 1 &,& z_2^3 = -2 &\Rightarrow& \fbox{$z_1 = 1$} &,& \fbox{$z_2 = -\sqrt[3]{2}$} \end{matrix} Repare que, $z_1$ e $z_2$ são as únicas raízes reais, todas as demais são complexas, então, a soma das raízes reais será: \begin{matrix} \fbox{$z_1 + z_2 = 1 - 2^{1/3}$} \\ \\ Letra \ (C) \end{matrix}
Modo de Edição
0 / 5000