Um dispositivo colocado no solo a uma distância $d$ de uma torre dispara dois projéteis em trajetórias retilíneas. O primeiro, lançado sob um ângulo $\theta \in (0, \pi/4)$, atinge a torre a uma altura $h$. Se o segundo, disparado sob um ângulo $2\theta$, a atinge a uma altura $H$, a relação entre as duas alturas será:


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ITA IIIT 25/01/2022 21:32
A priori, não é difícil perceber que temos um triângulo retângulo e uma bissetriz interna (que gera outro triângulo retângulo menor), dessa maneira, podemos escrever: $• \ \text{Resolução I: Teorema da Bissetriz Interna}$ Seja $x$ a hipotenusa do grande triângulo, assim, aplicando o $\text{Teorema da Bissetriz Interna}$ \begin{matrix} { \dfrac{x}{H-h} = \dfrac{d}{h} } &\Rightarrow& { \fbox{$x = \dfrac{d(H-h)}{h}$} } \end{matrix}Aplicando Pitágoras no grande triângulo: \begin{matrix} x^2 = H^2 + d^2 \\ \\ \left( \dfrac{d(H-h)}{h}\right)^2 = H^2 + d^2 \ \Rightarrow \ \left(\dfrac{H^2}{h^2} - \dfrac{2H}{h} + 1\right) = \dfrac{H^2}{d^2} +1 \\ \\ \color{gray}{\text{ H > 0}} \\ \\ H\left(\dfrac{1}{d^2} - \dfrac{1}{h^2}\right) = \dfrac{2}{h} \\ \\ \fbox{$ H = {\dfrac{2hd^2}{(d^2 - h^2)}}$} \end{matrix} $• \ \text{Resolução II: Arco duplo - Tangente}$ Como o ângulo theta está definido em $\theta \in (0 , \pi/4)$, temos: \begin{matrix} \tan{\theta} = \dfrac{h}{d} &,& \tan{2\theta} = \dfrac{H}{d} \end{matrix}\begin{matrix} \color{gray}{\fbox{$\tan{2\theta} = \dfrac{2\tan{\theta}}{1 - \tan{\theta}^2}$}} \\ \\ { \dfrac{H}{d} = \dfrac{2\left(\dfrac{h}{d}\right)}{1 - \left(\dfrac{h}{d}\right)^2} } \\ \\ \fbox{$ H = {\dfrac{2hd^2}{(d^2 - h^2)}}$} \\ \\ Letra \ (A) \end{matrix}
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