Considere $C$ uma circunferência centrada em $O$ e raio $2r$, e $t$ a reta tangente a $C$ num ponto $T$. Considere também $A$ um ponto de $C$ tal que $\hat{AOT} = \theta$ é um ângulo agudo. Sendo $B$ o ponto de $t$ tal que o segmento $\overline{AB}$ é paralelo ao segmento $\overline{OT}$, então a área do trapézio $OABT$ é igual a:


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ITA IIIT 25/01/2022 20:44
$-$ Esboçando a situação, não é difícil perceber que trata-se de um trapézio retângulo, o qual pode ser dividido em um triângulo retângulo, além de claro, um retângulo. Dessa forma, seja $D$ o ponto do segmento $\overline{OT}$ o qual passa a perpendicular $\overline{AD}$, gerando-se um triângulo retângulo, e por conseguinte, um retângulo, dos quais podemos escrever: \begin{matrix} \overline{BT} = 2r.\sin{\theta} \\ \\ \color{gray}{\text{ $\overline{AD} \equiv \overline{BT} \ , \ \overline{AD} \parallel \overline{BT} $}} \\ \\ \\ \overline{AB} = 2r.(1 - \cos{\theta}) \\ \\ \color{gray}{ \begin{matrix} \overline{OT} = \overline{OD} + \overline{DT} \ \Rightarrow \ 2r = 2r.\cos{\theta} + \overline{DT} \\ \overline{DT} =2r.(1- \cos{\theta} ) \\ \overline{DT} \equiv \overline{AB} \end{matrix} } \end{matrix} $-$ Área do trapézio \begin{matrix} \large {A = \frac{(\overline{OT}+\overline{AB}).\overline{BT}}{2} = \frac{[2r + 2r.(1 - \cos{\theta}) ] \ .\ (2r.\sin{\theta})}{2}} \\ \\ A = r^2. (4\sin{\theta} - 2.\sin{\theta}.\cos{\theta}) \\ \\ \color{gray}{\sin{2\theta} = 2.\sin{\theta}.\cos{\theta}} \\ \\ \fbox{$A = r^2. (4\sin{\theta} - \sin{2\theta})$} \\ \\ Letra \ (C) \end{matrix}
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