Três pontos de coordenadas, respectivamente, $(0, 0)$, $(b, 2b)$ e $(5b, 0)$, com $b > 0$, são vértices de um retângulo. As coordenadas do quarto vértice são dadas por:


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ITA IIIT 28/10/2021 21:40
A priori existem duas formas bem diretas de resolver, você pode sair aplicando a "Distância entre dois Pontos" e encontrar os valores dos lados, igualar os lados congruentes, cair num sistema, e resolver. Todavia, você também pode ver que: \begin{matrix} A: (0,0) &,& B: (b,2b) &,& C: (5b,0) &,& D:(x,y) \end{matrix} Perceba que $\overline{AC}$ é uma diagonal, encontrando o seu ponto médio $\left[M_{x,y} = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2} \ , \ \dfrac{y_1+y_2}{2} \right) \right]$: \begin{matrix} M_{\overline{AC}} = \left(\dfrac{5b + 0}{2} \ , \ \dfrac{0+0}{2} \right) &\Rightarrow& M_{\overline{AC}} = \left(\dfrac{5b}{2} \ , \ 0 \right) \end{matrix}Note que $\overline{BD}$ também é uma diagonal, encontrando o seu ponto médio: \begin{matrix} M_{\overline{BD}} = \left(\dfrac{x+b}{2} \ , \ \dfrac{2b+y}{2} \right) \end{matrix}Repare agora que $M_{\overline{AC}} = M_{\overline{BD}}$, logo: \begin{matrix} x: \ \dfrac{5b}{2} = \dfrac{x+b}{2} &,& y : \ 0 =\dfrac{2b+y}{2} \end{matrix}Por fim: \begin{matrix} x=4b \ \ \ \ e \ \ \ \ y =-2b \\ \\ Letra \ (C) \end{matrix}
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