Deixa-se cair um corpo de massa m da boca de um poço que atravessa a Terra, passando pelo seu centro. Desprezando atritos e rotação da Terra, para $R \geq | x |$ o corpo fica sob ação da força $F = -m\cdot g\cdot x/R$, onde a aceleração gravitacional $g = 10,0\ m/s^{2}$ , o raio da Terra $R = 6,4.10^{6}\ m$ e $x$ é a distância do corpo ao centro da Terra (origem de $x$). Nestas condições podemos afirmar que o tempo de trânsito da boca do poço ao centro da Terra e a velocidade no centro são:


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ITA IIIT 01/02/2022 00:05
$-$ Segundo enunciado, podemos escrever: \begin{matrix} \large{m.a = -\frac{m.g}{R}.x } &\Rightarrow& \large{ a +\frac{g}{R}}.x = 0 \end{matrix} \begin{matrix} \text{Não é difícil perceber que trata-se de um MHS, em que: $ w^2= \large{ \frac{g}{R}} $ } \end{matrix} $-$ Período do MHS: \begin{matrix} T = \Large{\frac{2\pi}{w}} &\Rightarrow& T = 2\pi \ \large{\sqrt{\frac{R}{g}}} &\therefore& T \cong 84 \ min \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Atente ao fato que, a questão não pede o período, mas sim o intervalo de tempo do corpo chegar ao centro, assim, pode-se dizer que o tempo de trânsito da boca do poço ao centro da Terra equivale a um quarto do período. Além disso, vale ressaltar que a amplitude $(A)$ do MHS é $R$. $-$ Intervalo de tempo do corpo chegar ao centro: \begin{matrix} \Delta t= \frac{1}{4}.T &\Rightarrow& \fbox{$ \Delta t = 21 \ min$} \end{matrix} $-$ O centro da terra também é o centro do MHS, isto é, o ponto de velocidade máxima, temos então: \begin{matrix} |v_{máx}| = w.A &\Rightarrow& \fbox{$ v \cong 8.10^3 \ m/s$} \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (B) \end{matrix} $• \ \text{Análise paralela do enunciado:}$ \begin{matrix} F = {-\frac{m.g}{R}.x } &\Rightarrow& F= -K.x & , & K = \frac{m.g}{R} \end{matrix} $-$ Período do MHS: \begin{matrix} T = 2\pi \ \large{\sqrt{\frac{m}{K}}} &\Rightarrow& T = 2\pi \ \large{\sqrt{\frac{R}{g}}} \end{matrix}
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