Dois blocos de mesma massa, um com volume $V_1$ e densidade $d_1$ e outro com densidade $d_2 < d_1$ são colocados cada qual num prato de uma balança de dois pratos. A que valor mínimo de massa deverá ser sensível esta balança para que se possa observar a diferença entre uma pesagem em atmosfera composta de um gás ideal de massa molecular $\mu$ à temperatura $T$ e pressão $P$ e uma pesagem no vácuo?


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Nicholas Admin 05/01/2022 15:02
Em uma balança de pratos, o peso medido é dado pela força normal (de contato) entre o bloco e o prato. Para cada bloco, existem as seguintes forças: - Peso $P$, por estar numa região onde a aceleração gravitacional é $g$ - Empuxo $E$, por estar imerso em um gás com densidade $\rho$ - Normal $N$, pelo contato com o prato da balança. Lembrando que o empuxo é dado pelo peso do fluido deslocado: $E=\rho Vg$. Como os blocos estão em equilíbrio, pela segunda lei de Newton:$$P=N+E$$Onde a normal é igual ao peso aparente, que a balança mede: $N=P_{Ap}$. Assim, para a balança acusar um desequilíbrio, deve haver uma diferença de pesos aparentes. Numericamente, essa diferença é:$$\Delta P = N_1 - N_2\\\Delta P = (P_1 - E_1) - (P_2 - E_2)$$E como a massa dos blocos é igual, $P_1 - P_2 = 0$ e então:$$\Delta P = E_2 - E_1$$Ainda não sabemos o volume $V_2$ do segundo bloco, mas como $m_1=m_2$, podemos escrever:$$d_1V_1=d_2V_2\therefore\boxed{V_2=\frac{d_1}{d_2}V_1}$$Enfim, desenvolvendo a expressão para $\Delta P$:$$\Delta P = \rho g V_2 - \rho g V_1\\\Delta P = \rho g \left(\frac{d_1}{d_2}V_1 - V_1\right)\\\Delta P = \rho g V_1\left(\frac{d_1 - d_2}{d_2}\right)$$ Agora, como o problema pede a diferença de massa $\Delta m$ medida pela balança nas condições descritas, basta usar $\Delta m = \Delta P/g$:$$\Delta m = \rho V_1\left(\frac{d_1 - d_2}{d_2}\right)$$No entanto, não foi dada a densidade $\rho$ do gás. Para determiná-la, podemos recorrer à Lei dos gases ideais:$$PV=\frac{m}{\mu}RT\\\frac{m}{V}=\boxed{\frac{P\mu}{RT}}=\rho$$ Finalmente, substituindo $\rho$ em $\Delta m$, encontramos:$$\Delta m = \frac{P\mu V_1}{RT}\left(\frac{d_1 - d_2}{d_2}\right)\quad\boxed{\text{Gab. a)}}$$
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ITA IIIT
15:36 05/01/2022
Solução perfeita, Nicholas! Na hora de resolver estagnei na ideia do empuxo e nem me toquei sobre o peso aparente, novamente, muito obrigado!
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