No desenvolvimento de $A = \left(\dfrac{3a^2}{2} + \dfrac{2m}{3}\right)^{10}$ razão entre a parcela contendo o fator $a^{16}$ $m^2$ e a parcela contendo o fator $a^{14}$ $m^3$ é igual a 9/16. Se a e m são números reais positivos tais que $A = (m^2 + 4)^5$ então:


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ITA IIIT 19/11/2021 01:21
$-$ Sabendo que o Termo Geral do Binômio de Newton é dado por: \begin{matrix}(a+b)^n \ \ \ \Rightarrow \ \ \ T_{k+1} = {n \choose k}.a^{n-k}.b^k \end{matrix} $-$ Desenvolvendo a primeira expressão dada: \begin{matrix} \large{(\frac{3.a^2}{2}+\frac{2.m}{3})^{10}} &\Rightarrow & \large{T_{k+1} = {10 \choose k}.(\frac{3.a^2}{2})^{10-k}.(\frac{2.m}{3})^k} \end{matrix} $-$ Queremos os termos que possuem: $a^{16}.m^2$ , $a^{14}.m^3$ . Assim, é fácil perceber que $k$ precisa ser igual, respectivamente, a $2$ e $3$, então: \begin{matrix} \Large{\frac{T_{3}}{T_{4}} = \frac{{10 \choose 2}.(\frac{3.a^2}{2})^{10-2}.(\frac{2.m}{3})^2}{{10 \choose 3}.(\frac{3.a^2}{2})^{10-3}.(\frac{2.m}{3})^3}} = \frac{9}{16} &\Rightarrow& \fbox{$a^2 = \large{\frac{2}{3}.m }$} \end{matrix} $-$ Igualando as duas expressões dadas: \begin{matrix} (m + 4)^5 = (\frac{3.a^2}{2}+\frac{2.m}{3})^{10} &\Rightarrow& (m + 4) = (\frac{5.m}{3})^{5} \end{matrix} Como $m \ , \ a >0$ \begin{matrix} \fbox{$m = \frac{3}{2}$} \end{matrix} Analisando as alternativas, fica claro a resposta: $a + m = \frac{5}{2}$ \begin{matrix} Letra \ (C) \end{matrix}
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