No desenvolvimento de razão entre a parcela contendo o fator e a parcela contendo o fator é igual a 9/16. Se a e m são números reais positivos tais que então:


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ITA IIIT 19/11/2021 01:21
Sabendo que o Termo Geral do Binômio de Newton é dado por: \begin{matrix}(a+b)^n \ \ \ \Rightarrow \ \ \ T_{k+1} = {n \choose k}.a^{n-k}.b^k \end{matrix}Desenvolvendo a primeira expressão dada: \begin{matrix} { \left(\dfrac{3a^2}{2}+\dfrac{2m}{3}\right)^{10}} &\Rightarrow & {T_{k+1} = {10 \choose k}\cdot \left(\dfrac{3a^2}{2}\right)^{10-k} \left(\dfrac{2m}{3}\right)^k} \end{matrix} Queremos os termos que possuem: $a^{16}.m^2$, $a^{14}m^3$ . Assim, é fácil perceber que $k$ precisa ser igual, respectivamente, a $2$ e $3$, então: \begin{matrix} {\dfrac{T_{3}}{T_{4}} = \dfrac{{10 \choose 2}\cdot \left(\dfrac{3a^2}{2}\right)^{10-2} \left(\dfrac{2m}{3}\right)^2}{{10 \choose 3} \cdot \left(\dfrac{3a^2}{2}\right)^{10-3} \left(\dfrac{2m}{3}\right)^3}} = \dfrac{9}{16} &\Rightarrow& \fbox{$a^2 = {\dfrac{2}{3}\cdot m }$} \end{matrix}Igualando as duas expressões dadas: \begin{matrix} (m + 4)^5 = \left(\dfrac{3a^2}{2}+\dfrac{2m}{3}\right)^{10} &\Rightarrow& (m + 4) = \left(\dfrac{5m}{3}\right)^{5} \end{matrix}Como $m \ , \ a >0$\begin{matrix} \fbox{$m = \dfrac{3}{2}$} \end{matrix}Analisando as alternativas, fica claro a resposta: $a + m = \dfrac{5}{2}$\begin{matrix} Letra \ (C) \end{matrix}
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