Seja $P(x)$ um polinômio de grau $5$, com coeficientes reais, admitindo $2$ e $i$ como raízes. Se $P(1)P(-1) < 0$, então o número de raízes reais de $P(x)$ pertencentes ao intervalo $]-1, 1[$ é:


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ITA IIIT 28/02/2022 17:22
$-$ A priori, sabemos que o conjugado da raiz complexa também é raiz do polinômio, assim, têm-se: \begin{matrix} x_1 = 2 &,& x_2 = i &,& x_3 = -i \end{matrix} $-$ Agora, com conhecimento do $\text{Teorema de Bolzano}$, sabe-se que num intervalo $\color{royalblue}{] \ a \ , \ b \ [}$ , se $P(a).P(b)<0$, há um número ímpar de raízes reais nesse intervalo. Nessa perspectiva, temos três raízes conhecidas fora do intervalo, e duas raízes que não conhecemos, a qual uma das duas deve pertencer ao intervalo $\color{orangered}{] -1 \ , \ 1 [}$ , vide o teorema apresentado. \begin{matrix} Letra \ (B) \end{matrix}
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