A identidade: $$\dfrac{x^3 + 4}{x^3 + 1} = 1 + \dfrac{a}{x+1}+ \dfrac{bx+c}{x^2 - x + 1}$$é válida para todo real $x \neq -1$. Então $a + b + c$ é igual a:
Segundo a identidade do enunciado, \begin{matrix} {\dfrac{3}{x^3 + 1} = \dfrac{a}{x+1} + \dfrac{bx+c}{x^2 - x +1}} &,& \color{gray}{{\dfrac{(x^3 + 1) + 3}{x^3 + 1}}} &\color{gray}{=}& \color{gray}{1 + {\dfrac{3}{x^3 + 1}}}
\end{matrix} $\color{orangered}{\text{Obs:}}$ $\begin{matrix} x^3 + 1^3 &=& (x+1)(x^2 -x + 1)
\end{matrix}
$ \begin{matrix} {\dfrac{3}{(x+1)(x^2 -x + 1)} = \dfrac{a(x^2 -x + 1) \ + \ (bx + c)(x+1)}{(x+1)(x^2 -x + 1)} }
\end{matrix}Assim, \begin{matrix} x^2 (a+b) &+& x(b+c-a) &+&( a+c ) &=& 0x^2 &+& 0x &+& 3
\end{matrix}Igualando os coeficientes dos termos de mesma potência: \begin{matrix}
\begin{cases} a+b &=& 0 \\ b+c-a &=& 0 \\ a+c &=& 3
\end{cases} &\Rightarrow& a= 1 &,& b = -1 &,& c = 2
\end{matrix}Portanto, \begin{matrix} a+b+c = 2 \\ \\ Letra \ (D)
\end{matrix}
