Quantas anagramas com $6$ caracteres distintos podemos formar usando as letras da palavra QUEIMADO, anagramas estes que contenham duas consoantes e que, entre as consoantes, haja pelo menos uma vogal?


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ITA IIIT 19/11/2021 00:00
$-$ Existem várias formas de resolver essa questão, irei optar por uma resolução que acredito ser interessante: Antes de tudo, temos: $\text{8 Letras, 5 vogais, 3 consoantes, todas distintas.}$ Comecemos com as consoantes (nosso principal problema), digamos que nossa primeira consoante não pode estar nas extremidades, assim nos restam 4 lugares para colocá-la: \begin{matrix} X - V -V -V -V - X \\ \\ \color{royalblue}{X: Não \ pode \ colocar \ \ , \ \ V: Pode \ colocar} \end{matrix}Perceba que então, temos: $4.C_{3}^{1}$ Agora, ao colocar a segunda consoante, não podemos por ela ao lado da primeira, existem assim 3 lugares para por a segunda consoante, veja uma das possibilidades: \begin{matrix} V - X -C_1 -X -V - V \\ \\ \color{royalblue}{X: Não \ pode \ colocar \ \ , \ \ V: Pode \ colocar \ \ , \ \ C_1: Primeira \ Consoante} \end{matrix} Perceba que, têm-se: $3.C_{2}^{1}$. Já os demais lugares $(4)$, preenchidos com vogais, podem ser colocados de forma: $5.4.3.2$. Pelo princípio fundamental da contagem, segue: \begin{matrix} 4\ .\ C_{3}^{1} \ . \ 3.C_{2}^{1} \ .\ 5.4.3.2 = 8640 \end{matrix} Atente ao fato que contamos repetidas vezes algumas possibilidades, mais precisamente, a cada posição que colocamos a primeira consoante, contamos exatamente duas vezes o mesmo resultado em dois lugares distintos da segunda consoante, veja um dos casos para entender melhor: \begin{matrix} (1) \ @ - C_1 - @ - @ - C_2 - @ \\ (2) \ @ - C_1 - @ - @ - @ - C_2 \\ \\ \color{royalblue}{@: Letra \ \ , \ \ C_2: Segunda \ Consoante \ \ , \ \ C_1: Primeira \ Consoante} \end{matrix} Note que, se $C_1$ for $Q$ e $C_2$ for $M$, ao inverter , $C_1$ = $M$ e $C_2$ = $Q$, contamos duas vezes a mesma coisa em cada caso, duas vezes em $(1)$ e duas vezes em $(2)$. Portanto, para cada lugar de $C_1$ precisamos remover 2 soluções, podemos escrever então: \begin{matrix} 2\ .\ C_{3}^{1} \ . \ C_{2}^{1} \ .\ 5.4.3.2 = 1440 \end{matrix} Por fim, temos: \begin{matrix} (4\ .\ C_{3}^{1} \ . \ 3.C_{2}^{1} \ .\ 5.4.3.2 )\ -\ (2.C_{3}^{1} \ . \ C_{2}^{1} \ .\ 5.4.3.2) = 8640 -1440 \\ \\ 7200 \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (A) \end{matrix} $\color{orangered}{Nota_1:}$ Essa questão poderia ser anulada, pois a grosso modo ele não diz EXATAMENTE duas consoantes, e sim duas, assim, abre-se margem para duas interpretações. $\color{orangered}{Nota_2:}$ A resolução ficou enorme, mas tudo isso é pelo raciocínio, pois se você perceber, algebricamente é extremamente simples. $\color{orangered}{Nota_3:}$ Você poderia tentar particularizar caso a caso, e ir incrementando as soluções. Além disso, uma resolução bem pragmática seria generalizar o máximo possível: \begin{matrix} [ \text{(Todas as formas de por 2 consoantes e 4 vogais)} - \text{(Todas as formas em que as duas consoantes estão juntas)}]\cdot (5.4.3.2) \end{matrix}
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