As raízes da equação de coeficientes reais $x^3+ax^2+ bx + c = 0$ são inteiros positivos consecutivos. A soma dos quadrados dessas raízes é igual a 14. Então $a^2+ b^2+ c^2$é igual a:


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ITA IIIT 14/03/2022 17:09
$-$ Segundo enunciado, as raízes são inteiros consecutivos, logo, se elas forem, $x_1$, $x_2$ e $x_3$, temos: $(x_2 - 1) \ , \ x_2 \ , \ (x_2 + 1)$ . Dessa forma, novamente, segundo enunciado, podemos escrever: \begin{matrix} (x_2 - 1)^2 + (x_2)^2 + (x_2 +1)^2 = 14 &\Rightarrow& \fbox{$x_2 = \pm 2$} \end{matrix} $-$ Agora, com conhecimento das $\text{Fórmulas de Viète}$, têm-se: \begin{matrix} \begin{cases} (x_2 - 1) + (x_2) + (x_2 +1) = -a \\ \\ (x_2 - 1).x_2 + (x_2 - 1).(x_2 + 1) + x_2(x_2 +1) = b \\ \\ (x_2 - 1) . (x_2). (x_2 +1)= -c \end{cases} &&\Rightarrow&& \begin{cases} 3x_2 = -a \\ \\ 3(x_2)^2 - 1= b \\ \\ [ \ (x_2)^2 - 1 \ ] . (x_2)= -c \end{cases} \end{matrix} Assim, não é difícil encontrar: \begin{matrix} |a| = 6 &,& |b| = 11 &,& |c| = 6 \end{matrix} Por fim, \begin{matrix} a^2 + b^2 + c^2 = 193 \\ \\ Letra \ (D) \end{matrix}
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