Dadas as funções reais de variável real $f(x) = mx + 1$ e $g(x) = x + m$, onde m é uma constante real com $0 < m <1$, considere as afirmações:
$(f\circ g)(x) = (g\circ f)(x)$, para algum $x \in R$.
$f(m) = g(m)$
Existe $a \in R $ tal que $(f\circ g)(a) = f(a)$.
Existe $b \in R$ tal que $(f\circ g)(b) = mb$.
$0 < (g\circ g)(m) < 3$
Podemos concluir
$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ \begin{matrix} (f \circ g) \ (x) = m.(x+m) + 1 \\ (g \circ f) \ (x) = m.(x+1) + 1 \\ \\ m.(x+m) + 1 = m.(x+1) + 1 \\ m = 1 \\ \color{gray}{\fbox{$0<m<1$}}
\end{matrix}$• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ \begin{matrix} \begin{cases}f(m) = m^2 + 1 \\ g(m) = 2m\end{cases}&\therefore& m^2 + 1 \ne 2m
\end{matrix}$• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ \begin{matrix} \begin{cases}(f \circ g) \ (a) &=& m(a+m) + 1 \\ f(a) &=& ma + 1 \end{cases} &\Rightarrow& m=0 &,& \color{gray}{\fbox{$0<m<1$}}
\end{matrix}$• \ \text{Afirmativa IV:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ \begin{matrix} (f \circ g) \ (b) = m(b+m) + 1 \\ \\ m(b+m) + 1 = mb \\ m^2 = -1
\end{matrix}$• \ \text{Afirmativa V:}$ $\color{#3368b8}{\text{Verdadeira}}$\begin{matrix} (g\circ g) \ (m) = (m +m) + m \\ \\ 0<m<1 \\ 0<3m< 3 \\ \\ 0<(g\circ g) \ (m) < 3 \\ \\ Letra \ (E)
\end{matrix}
