Um objeto em forma de um segmento de reta de comprimento $L$ está situado ao longo do eixo ótico de uma lente convergente de distância focal $f$. O centro do segmento se encontra a uma distância $a$ da lente e esta produz uma imagem real convergente de todos os pontos do objeto. Quanto vale o aumento linear $\beta$ do objeto?


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Nicholas Admin 02/09/2021 12:13
O centro do segmento de reta de comprimento $L$ está a uma distância $a$ da lente. Consideremos o centro óptico como centro do referencial. Assim, o ponto do segmento que se encontra mais afastado da lente, ponto $A$, está a uma distância $p_{A}=a+\frac{L}{2}$. Analogamente, o ponto do segmento que se encontra mais próximo da lente, ponto $B$, está a uma distância $p_{B}=a-\frac{L}{2}$. Conhecidos os extremos do segmento, podemos calcular a distância da imagem dos extremos, $p^{\prime}_{A}$ e $p^{\prime}_{B}$:$$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}$$$$\begin{cases}p^{\prime}_{A}=\dfrac{\left(a+\dfrac{L}{2}\right)f}{\left(a+\dfrac{L}{2}\right)-f}\\\\p^{\prime}_{B}=\dfrac{\left(a-\dfrac{L}{2}\right)f}{\left(a-\dfrac{L}{2}\right)-f}\end{cases}$$E então, podemos calcular o aumento linear $\beta=-\frac{p^{\prime}_{B}-p^{\prime}_{A}}{p_{B}-p_{A}}$ que corresponde à razão entre o tamanho da imagem do segmento e o tamanho original do segmento.$$\beta=-\frac{\dfrac{\left(a-\dfrac{L}{2}\right)f}{\left(a-\dfrac{L}{2}\right)-f} - \dfrac{\left(a+\dfrac{L}{2}\right)f}{\left(a+\dfrac{L}{2}\right)-f}}{L}$$$$\beta=-\frac{1}{L}\cdot\frac{\left(a^2-\dfrac{L^2}{4}\right)f-\left(a-\dfrac{L}{2}\right)f^2 - \left(a^2-\dfrac{L^2}{4}\right)f+\left(a+\dfrac{L}{2}\right)f^2}{\left(a^2-\dfrac{L^2}{4}\right)-f\left(a-\dfrac{L}{2}\right)-f\left(a+\dfrac{L}{2}\right)+f^2}$$$$\boxed{\beta=\frac{f^2}{(a-f)^2-(L/2)^2}}\quad\text{Gab. C)}$$
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