Uma ventania extremamente forte está soprando com uma velocidade $v$ na direção da seta mostrada na figura. Dois aviões saem simultaneamente do ponto $A$ e ambos voarão com uma velocidade constante $c$ em relação ao ar. O primeiro avião voa contra o vento até o ponto $B$ e retorna logo em seguida ao ponto $A$, demorando para efetuar o percurso total um tempo $t_1$. O outro voa perpendicularmente ao vento até o ponto $D$ e retorna ao ponto $A$, num tempo total $t_2$. As distâncias $AB$ e $AD$ são iguais a $L$. Qual é a razão entre os tempos de voo dos dois aviões?


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ITA IIIT 07/12/2021 13:57
Começando pelo primeiro avião, vejamos: • Na ida: \begin{matrix} \huge{\color{royalblue}{\longrightarrow} \color{orangered}{\leftarrow}} &\Rightarrow& V_1 = c - v \end{matrix}• Na volta: \begin{matrix} \huge{\color{royalblue}{\longleftarrow} \color{orangered}{\leftarrow}} &\Rightarrow& v_1 = c + v \end{matrix}Logo, o tempo total será: \begin{matrix} t_1 = {\large{\frac{L}{c-v}}} + {\large{\frac{L}{c+v}}} &\therefore& t_1 = {\large{\frac{2.L.c}{c^2 - v^2}}} &,& \color{royalblue}{•} \vec{c} & \color{orangered}{•} \vec{v} \end{matrix}Já para o segundo avião: • Na ida: \begin{matrix} \huge{\color{yellowgreen}{\uparrow}_{\color{royalblue}{\nearrow}}^{\color{orangered}{\longleftarrow}}} &\Rightarrow& c^2 = V_2^2 + v^2 &\therefore& V_2 = \sqrt{c^2 - v^2} \end{matrix}• Na volta: \begin{matrix} \huge{\color{yellowgreen}{\downarrow}_{{\color{orangered}{\longleftarrow}}}^{\color{royalblue}{\searrow} }} &\Rightarrow& c^2 = v_2^2 + v^2 &\therefore& v_2 = \sqrt{c^2 - v^2} &,& \color{royalblue}{•} \vec{c} & \color{orangered}{•} \vec{v} & \color{yellowgreen}{•} \vec{V}_2,\vec{v}_2 \end{matrix}Logo, o tempo total será: \begin{matrix} t_2 = {\large{\frac{L}{\sqrt{c^2 - v^2}}}} + {\large{\frac{L}{\sqrt{c^2 - v^2}}}} \end{matrix}Por fim: \begin{matrix} {\large{\frac{t_2}{t_1}}} = {\Large{\frac{\frac{2.L}{\sqrt{c^2 - v^2}}}{\frac{2.L.c}{c^2 - v^2} }}} &\Rightarrow& {\large{\frac{t_2}{t_1} }}= {\large{\frac{c^2 - v^2}{c.\sqrt{c^2 - v^2}}}} = {\large{\frac{\sqrt{c^2 - v^2}}{c}}} &\therefore& {\large{\frac{t_2}{t_1}}} = \sqrt{1 - {\large{\frac{v^2}{c^2}}}} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (A) \end{matrix}
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