Seja $A$ a matriz $3\times3$ dada por $A = \left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 0\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right]$. Sabendo-se que $B$ é a inversa de $A$, então a soma dos elementos de $B$ vale:


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ITA IIIT 19/02/2022 18:56
$-$ Com conhecimento que $AA^{-1} = I$, podemos escrever uma matriz genérica para $B$ e encontrar um sistema de equações, este que será responsável pela solução do problema: \begin{matrix} \begin{bmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 1 && 0 && 0 \\ 3 && 0 && 1 \end{bmatrix} &.& \begin{bmatrix} a && b && c \\ d && e && f \\ g && h && i \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \end{bmatrix} \end{matrix} \begin{matrix} \begin{bmatrix} a + 2d + 3g && b+2e+3h && c + 2f + 3i \\ a && b && c \\ 3a + g && 3b + h && 3c + i \end{bmatrix} &= & \begin{bmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \end{bmatrix} \end{matrix} $-$ Veja que o sistema em si é bem simples, façamos uma análise de cada linha, começando pela segunda, depois a terceira, e por fim a primeira: \begin{matrix} a = 0 &,& b =1 &,& c= 0 \\ \\ g = 0 &,& h = -3 &,& i = 1 \\ \\ d = \large{\frac{1}{2}} &,& e = 4 &,& f = -\large{\frac{3}{2}} \end{matrix} $-$ Assim, fazendo a soma dos elementos da matriz inversa: \begin{matrix} S = (a+b+c+ d+ e+f+g+h+i) = [0+1+0+ \frac{1}{2} +4+ (-\frac{3}{2}) + 0+ (-3) + 1] \\ \\ \fbox{$S = 2$} \\ \\ Letra \ (B) \end{matrix}
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