Sabendo-se que a equação de coeficientes reais,$$x^6- (a + b + c)x^5+ 6x^4+ (a - 2b)x^3- 3cx^2+ 6x - 1 = 0$$é uma equação recíproca de segunda classe, então o número de raízes reais desta equação é:


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ITA IIIT 14/03/2022 15:48
$-$ Como o o enunciado nos informa que a equação é recíproca de segunda classe (ou espécie), sabemos haver uma simetria oposta entre os coeficientes equidistantes, os quais devemos ter: \begin{matrix} \begin{cases} a+b+c &=& 6 \\ \ \ \ \ \ 3c &=& 6 \\ \ \ \ a-2b &=& 0 \end{cases} &\Rightarrow& c = 2 &,& a = \large{\frac{8}{3}} &,& b = \large{\frac{4}{3}} \end{matrix} Assim, temos a equação: \begin{matrix} x^6 &-& 6x^5 &+& 6x^4 &+& 0x^3 &-& 6x^2 &+& 6x &-& 1 &=& 0 \end{matrix} $-$ Não é difícil perceber que $\color{royalblue}{\text{1 e -1}}$ são raízes da equação, com isso, aplicando o algoritmo de $\text{Briot-Ruffini}$, temos, respectivamente: \begin{matrix} \begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & -6 & 6& 0 & -6 & 6 & -1 \\ \hline & 1 & -5 & 1 & 1 & -5 & 1 & 0 \end{array} &\Rightarrow& \begin{array}{c|cccc} -1 & 1 & -5& 1 & 1 & -5 & 1 \\ \hline & 1 & -6& 7 & -6 & 1 & 0 \end{array} \end{matrix} Continuando, \begin{matrix} (x-1) &.& (x+1) &.& \underbrace{(x^4 - 6x^3 + 7x^2 -6x +1) }_{\text{Eq. simétrica}}&=& 0 \end{matrix} \begin{matrix} x^4 - 6x^3 + 7x^2 -6x +1 &\Rightarrow& x^2 \ ( x^2 -6x + 7 - \frac{6}{x} + \frac{1}{x^2}) &\Rightarrow& x^2 \ [ \ (x^2 + \frac{1}{x^2}) -6(x + \frac{1}{x}) + 7 \ ] = 0 \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ $\begin{matrix} (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \end{matrix} $ \begin{matrix} x^2 \ [ \ (x+ \frac{1}{x})^2 -6(x + \frac{1}{x}) + 5 \ ] = 0 &,& (x + \frac{1}{x}) = y \end{matrix} Com isso, \begin{matrix} y^2 - 6y + 5 = 0 &\Rightarrow& \fbox{$y_1 = 1 \ \ \ , \ \ \ y_2 = 5$} \end{matrix} Portanto, \begin{matrix} x + \frac{1}{x}= 1 &&,&& x + \frac{1}{x}= 5 \\ \\ x^2 - x +1 = 0 &&&& x^2 - 5x +1 = 0 \\ \\ \Delta < 0 &&&& \Delta > 0 \\ \\ \text{Duas raízes complexas} &&&& \text{Duas raízes reais} \end{matrix} $-$ Por fim, do resultando acima temos duas raízes reais, mais as raízes $1$ e $-1$, constatamos $4$ raízes reais. \begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}
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