Num triângulo $ABC$ retângulo em $A$, seja a projeção $D$ a projeção de $A$ sobre $CB$. Sabendo-se que o segmento $BC$ mede $l\ cm$ e que o ângulo $\hat{DAC}$ mede $\theta $ graus, então a área do triângulo $ABC$ vale:


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ITA IIIT 23/01/2022 21:07
$-$ A priori, veja que nessa situação a projeção de $A$ sobre $\overline{CB}$ não é nada mais que a altura relativa ao lado $A$. Dessa forma, comecemos pelo triângulo retângulo $ABD$. \begin{matrix} \hat{B} = \theta &\Rightarrow& \cos{\theta} = {\large{\frac{l}{\overline{AB}}}} & ∴& \overline{AB} = l.\sec{\theta} \end{matrix}$-$ Analisando agora o triângulo $ABC$, temos: \begin{matrix} \tan{\theta} = {\large{\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}}} &\Rightarrow& \overline{AC} = l.\sec{\theta}.\tan{\theta} \end{matrix}$-$ A área do triângulo \begin{matrix} A_T = {\large {\frac{ \overline{AB} . \overline{AC}}{2} }} &\Rightarrow& \fbox{$A_T = {\large {\frac{ l^2}{2}}} \cdot (\sec{\theta})^2 \cdot (\tan{\theta}) $} \end{matrix}\begin{matrix} Letra \ (B) \end{matrix}
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