Numa progressão aritmética com termos, a soma dos primeiros é igual a e a soma dos últimos é . Sabendo-se que a razão desta progressão é um inteiro entre e , então seu último termo será igual a:


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ITA IIIT 14/09/2022 01:33
Vamos começar pensando na soma dos $n$ primeiros termos, em que: \begin{matrix} \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} a_i = \dfrac{(a_1 + a_n)(n)}{2} = \dfrac{[2a_1 + r(n-1) ]n}{2} = 50 \end{matrix}Com isso,\begin{matrix}2a_1n = 100 - rn(n-1) & \color{#3368b8}{ \text{(I)}} \end{matrix}Agora, pensando na soma dos últimos $n$ termos:\begin{matrix} \overset{2n+1}{\underset{i \ =\ n+2}{\sum}} a_i = \dfrac{(a_{n+2} + a_{2n+1})(n)}{2} = \dfrac{[2a_1 + r(n+1) + r(2n) ]n}{2} = 140 \end{matrix}Analogamente,\begin{matrix}2a_1n = 280- rn(3n+1) & \color{#3368b8}{ \text{(II)}} \end{matrix}Igualando $\text{(I)}$ e $\text{(II)}$:\begin{matrix} 100 - rn(n-1) = 280- rn(3n+1) \\ \\ nr(n+1) = 90 \end{matrix}Pelo princípio fundamental da aritmética, pode-se analisar nosso resultado acima por inspeção, ou seja:\begin{matrix}n \cdot r \cdot (n+1) = 3^2 \cdot 5 \cdot 2 \end{matrix}Tabelando:\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline n & n+1 & r & \text{Resultado} \\ \hline 1 & 2 &45& \color{orangered}{\text{Inviável}} \\ \hline 2 & 3 &15 & \color{orangered}{\text{Inviável}} \\ \hline 3 &4 &15/2 & \color{orangered}{\text{Inviável}} \\ \hline 4 &5 &9/2 & \color{orangered}{\text{Inviável}} \\ \hline 5&6 &3 & \color{#3368b8}{\text{Viável}} \\ \hline \end{array}Lembre-se que $r$ é um número inteiro entre $2$ e $13$, assim, o resultado acima é o único possível. Nesse contexto, voltemos a soma dos $n$ primeiros termos:\begin{matrix} \dfrac{[2a_1 + 3(5-1) ]5}{2} = 50 &\Rightarrow& a_1 = 4 \end{matrix}Por fim, já sabemos que o último termo é o $a_{11}$, logo:\begin{matrix}a_{11} = a_1 + 10r &\therefore& a_{11} = 34 & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (A) \end{matrix}
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Eduardo Vieira
11:18 31/01/2024
No meio da resolução o LaTex falhou e a equação não renderizou.
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ITA IIT
13:27 31/01/2024
Obrigado pelo aviso, Eduardo! Arrumei aqui.
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