Sabendo-se que a soma das raízes da equação $$\left[\begin{array}{llll} 1 & -1 & 0 & 2\\ x & 0 & x & 0\\ 0 & b & x & x\\ b & x & 2 & b \end{array}\right]=0$$é $-8/3$ e que $S$ é o conjunto destas raízes, podemos afirmar que:


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ITA IIIT 19/02/2022 16:29
Existem duas formas bem diretas de trabalhar esse determinante, a primeira, seria aplicar $\text{Laplace}$ numa linha com a maior quantidade de zeros (para facilitar as contas), já a outra, que inclusive iremos usar, seria aplicar $\text{Chió}$.\begin{matrix} \begin{array}{|c | c c c| } 1 && -1 && 0 && 2 \\ \hline x && 0 && x && 0 \\ 0 && b && x && x \\ 1 && 0 && 1 && k \end{array} &\Rightarrow& x& \begin{array}{|c | c c c| } 1 && 1 && -2 \\ \hline b && x && x \\ x+b && 2 && -b \end{array} &=& x & \begin{vmatrix} x-b && x +2b \\ 2-x-b && b + 2x \end{vmatrix} &=& 0 \end{matrix} \begin{matrix} x \cdot [ \ (x-b)(b+2x) - (x+2b)(2-x-b) \ ] = 0 &\Rightarrow& \fbox{$x = 0 \ \ \text{é raíz}$} \end{matrix} \begin{matrix} (x-b)(b+2x) - (x+2b)(2-x-b) = 0 \\ \\ 3x^2 - 2x(1-b) + (b^2 - 4b) = 0 \end{matrix}Com conhecimento das $\text{Relações de Girrard}$ podemos encontrar o valor de $b$, note que a soma das raízes da equação será igual à soma total das raízes (a outra já vimos que é zero), então:\begin{matrix} { \dfrac{2x(1-b)}{3} = -\dfrac{8}{3}} &\Rightarrow& \fbox{$b = 5$} \end{matrix}Voltando para equação de segundo grau: \begin{matrix} 3x^2 + 8x + 5 = 0 \\ \\ \fbox{$x = -1 $} \ \ \ , \ \ \ \fbox{$x = - {\dfrac{5}{3}} $} \end{matrix}Portanto, podemos inferir que nosso conjunto solução: \begin{matrix} S = \bigg \{ -\dfrac{5}{3} \ , -1 \ , \ 0 \bigg \} &\Rightarrow& S \subset [-10 \ , \ 0] \end{matrix}\begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}
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