Utilizando regra de Girard no termo que multiplica x, a soma das raíses quatro a quatro será igual ao coeficiente. Além disso, note que se $1+3i$ é raiz então $1-3i$ também é. Mais ainda, note que $(1+3i)(1-3i)=10$ $$688=x_{1}x_{2}x_{3}(1-3i)+x_{1}x_{2}x_{3}(1+3i)+10.x_{1}x_{2}+10.x_{1}x_{3}+10.x_{2}x_{3}$$ $$688=x_{1}x_{2}x_{3}((1-3i)+(1+3i))+10(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})$$ O enunciado nos diz que o produto das raízes reais é 64. Se houvessem outras raízes não reais, elas viriam em pares e assim só teríamos uma raiz real. Como temos mais de uma, as três restantes são reais. Além disso, é dito que as reais estão em P.G., usaremos uma propriedade das P.G. para descobrirmos ao menos uma delas. Mais a frente descobriremos a razão. $$x_{1}x_{2}x_{3}=64 \ \rightarrow \ \left(\frac{x_2}{q}\right).(x_2).(x_{2}q)=64 \ \rightarrow \ (x_{2})³=64 \ \rightarrow \ x_2=4 $$ $$688=64(2)+10\left(\frac{16}{q}+16+16q\right) $$ Arrumando: $$2q²-5q+2=0 \ \rightarrow\ \ q={2,\frac{1}{2}}$$ $ Independente \ da\ \ possibilidade\ \ de \ $q$\ \ que \ \ escolhermos, \ \ o \ \ resultado \ \ é \ \ o \ \ mesmo. \ \ As \ \ raízes \ reais \ são:\ 2,4 \ e \ 8 $ Para finalizar, façamos por regra de Girard a soma das raízes e o produto das raízes: $$-m=2+4+8+1-3i+1+3i=16 \ \rightarrow \ m=-16$$ $$-p=2.4.8.10=640 \ \rightarrow \ p=-640$$ $$\frac{p}{m}=\frac{-640}{-16}=40$$ $Alternativa \ c) \ $

Pelo enunciado, sabe-se que $1 + 3i$ é raiz do polinômio. No entanto, é sabido que $1 - 3i$ também é raiz do polinômio, uma vez que toda raiz complexa aparece acompanhada de seu conjugado. Perceba que o enunciado nos informa que existe mais que uma raiz real, isso quer dizer que todas as raízes restante são reais, pois, novamente, raízes complexas aparecem aos pares. Além disso, é dito que essas raízes reais formam uma progressão geométrica de razão inteira $q$ cujo produto é igual a 64. $$(a, b, c) = (a, aq, aq^{2}) , \ abc = 64 \Rightarrow aq = 4.$$ Sabendo disso, basta apenas duas equações de Girard, veja: $$(1 + 3i) + (1 - 3i) + a + b + c = - m \Rightarrow 2 + a + b + c = -m$$ $$(1+3i)(1-3i)(abc) = -p \Rightarrow -p = 640$$ Sabemos que $4$ é uma das raízes do polinômio, então vamos substituir no polinômio original junto ao valor de $p$ que descobrimos e chegaremos em $$2m^{2} - 15m - 640 = 0 \Rightarrow m \ \text{é irracional}.$$ No entanto, aplicando Girard em $m$ descobrimos que $m$ também é racional (absurdo!). Logo não há solução.