Analise as afirmações classificando-as em verdadeiras ou falsas:

  • I- O número de maneiras que podemos distribuir $5$ prêmios iguais a $7$ pessoas de modo que cada pessoa premiada receba no máximo um prêmio é $21$.

  • II- O número de maneiras que podemos distribuir $5$ prêmios iguais a $7$ pessoas de modo que $4$ apenas sejam premiadas é $140$.

  • III- Para todo natural $n$, $n \geq 5 \\ {n \choose 5}= {n \choose n - 5}$

Você concluiu que:


img
ITA IIIT 18/11/2021 20:02
$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ $-$ Bem direta, temos 7 pessoas, queremos escolher 5, em que cada uma recebe apenas um prêmio: \begin{matrix} C_{7}^{5} = {\large{\frac{7!}{5!.2!}}} = 21 \end{matrix}Outra forma de resolver: \begin{matrix}\text{Escolher 5 das 7 pessoas} &\Rightarrow& P_1 - P_2 - P_3 - P_4 - P_5 \end{matrix}\begin{matrix}7-6-5-4-3 &\Rightarrow& 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot4 \cdot 3 \end{matrix}Perceba que, a ordem das pessoas pouco importa (escolher AB = BA), logo, precisamos dividir pelo número de permutações que foram contadas repetidamente:\begin{matrix}5-4-3-2-1 &\Rightarrow& 5! \end{matrix}Assim: \begin{matrix} {\large{\frac{ 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot4 \cdot 3}{5!}}} = 21 \end{matrix} $• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ $-$ Primeiramente, precisamos escolher as 4 pessoas: $C_{7}^{4}$ $\color{orangered}{Obs:}$ Não se esqueça que todos os prêmios são iguais. Note agora o fato de que todas precisam receber ao menos um prêmio, sobra-se assim apenas um prêmio que pode ser dado à qualquer um dos quatro escolhidos. Dessa forma, é fácil perceber que temos quatro opções, e precisamos escolher exatamente uma delas: $C_{4}^{1}$ Pelo princípio fundamental da contagem: \begin{matrix} C_{7}^{4}.C_{4}^{1} = 140 \end{matrix} $• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ A afirmativa diz respeito a Relação das Combinações Complementares $(C_{n}^{p}= C_{n}^{n-p})$, ou seja, em uma mesma linha do triângulo de pascal, elementos equidistantes dos extremos são iguais. Uma justificativa para o resultado seria: \begin{matrix} {n \choose p} = {\large{\frac{n!}{p!.(n-p)!}}} \\ \\ {n \choose n -p} = {\large{ \frac{n!}{(n-p)!.[n-(n-p)]!}}} = {\large{\frac{n!}{p!.(n-p)!}}} \\ \\ {n \choose p} = {n \choose n -p} \ \ \tiny{\blacksquare} \\ \\ Letra \ (D) \end{matrix}
Modo de Edição
0 / 5000