Analisando o enunciado, podemos denotar o primeiro termo de $a_1$, assim, vamos chamar de $S_A$ a soma da $\text{PA}$, em que:\begin{matrix} S_A = \dfrac{(a_1+a_5)5}{2} = 50 &\Rightarrow& a_1 + a_5 = 20 &\therefore& a_1 + 2r = 10 & \text{(I)} \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ $a_5 = a_1 + 4r$ Agora, pensando na soma da $\text{PG}$, vamos chamá-la de $S_G$, tal que:\begin{matrix} S_G = \dfrac{a_1}{1 -q} = \dfrac{a_1}{1 -r^2} = 12 &\Rightarrow& a_1 =12(1-r^2) &\text{(II)} \end{matrix}Substituindo $\text{(II)}$ em $\text{(I)}$, constata-se:\begin{matrix} \underbrace{6r^2 - r - 2 = 0}_{\Delta \ = \ 25} &\Rightarrow& r = \dfrac{1 \pm 5}{2 \cdot 6} &\therefore& \boxed{r = \dfrac{1}{2}} &\overset{\text{(I)}}{\Rightarrow}& \boxed{a_1 = 9} \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ A raiz negativa de $r$ não satisfaz as condições do problema, visto que seria impossível a $\text{PA}$ somar $50$ sendo o primeiro termo menor que $10$. Por fim, pensando na soma $S$ dos quatro primeiros termos da progressão geométrica:\begin{matrix} S = \dfrac{a_1 \cdot (1 - q^4)}{1 - q} = \dfrac{9 \cdot \left( 1 - \dfrac{1}{4^4}\right)}{1 - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{765}{64} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (D) \end{matrix}