Sabido o aumento linear, podemos escrever: \begin{matrix} A = 2 = -\Large{\frac{x_1}{x_2}} &\Rightarrow& x_1 = -100 \ cm &,& x_2 = 50 \ cm \end{matrix}Com conhecimento da $\text{Equação de Gauss}$, temos: \begin{matrix} \Large{\frac{1}{f} = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} }&\Rightarrow& \Large{\frac{1}{f} = -\frac{1}{100} + \frac{1}{50} } &\Rightarrow& f = 100 \ cm \end{matrix}Como o raio de curvatura é aproximadamente duas vezes o foco, têm-se: \begin{matrix} R = 2f &\Rightarrow& \fbox{$R = 200 \ cm$} \end{matrix}Portanto, o espelho deve ser côncavo, pois a imagem é aumentada e, seu raio de curvatura será de $200 \ cm$.\begin{matrix} Letra \ (B) \end{matrix}

Seja $p'$ a distância da imagem do rosto do estudante ao vértice do determinado espelho e $p$ a distância do rosto do estudante ao vértice deste espelho. Para aumentar a altura $i$ de sua imagem será necessário que este estudante use um $\text{espelho côncavo}$ , note que para o estudante fazer a barba mais eficientemente será necessário que ele fique entre o foco e o vértice do espelho côncavo , ou seja , a imagem do rosto do estudante deve ser direita , virtual e maior que o objeto. Sabendo que o aumento linear transversal é igual a $2$ , podemos escrever que $-\dfrac{(-p')}{p} = 2$ , note que o termo $p'$ é acompanhado com um sinal de menos pelo fato de a imagem do rosto do estudante ser virtual. $\therefore$ $-\dfrac{(-p')}{p} = 2 = \dfrac{p'}{p} = 2 $ $\implies p' = 2p = 2 \cdot 50 = p' = 100 \text{ cm}$ Utilizando a Equação de Gauss temos que $\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{(-p')}$ , em que $F$ é a distância focal do espelho. $\therefore$ $\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{(-p')} = \dfrac{1}{50} - \dfrac{1}{100}$ $= \dfrac{50}{50 \cdot 100} = \dfrac{1}{F} \implies F = 100 \text{ cm}$ Como o raio de curvatura $r$ do espelho é igual ao dobro da distância focal $F$ do espelho , temos que $r = 2F = 2 \cdot 100 = \boxed{r = 200 \text{ cm}}$. Analisando as alternativa podemos concluir que a alternativa correta é a $\textbf{alternativa B}$