Seja $C$ a circunferência $x^2+ y^2 - 2x - 6y + 5 =0.$ Considere em $C$ a corda $AB$ cujo ponto médio é: $M: (2, 2)$. O comprimento de $AB$ (em unidade de comprimento) é igual a:


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ITA IIIT 23/01/2022 16:19
$-$ Da circunferência: \begin{matrix} (x^2 - 2x + \color{royalblue}{1}) &+& (y^2 - 6y + \color{royalblue}{9}) &+& 5 &=& \color{royalblue}{1} + \color{royalblue}{9} \end{matrix} \begin{matrix} (x - 1)^2 &+& (y - 3)^2 &=& (\sqrt{5})^2 \end{matrix} Assim, \begin{matrix} \fbox{$\begin{matrix} R = \sqrt{5} &,& C: (1 \ , \ 3) \end{matrix}$} \end{matrix} $-$ Perceba que, $\overline{CM}$ é mediatriz do triângulo $ABC$, este que inclusive é isósceles $(\overline{AC} = \overline{BC} = R )$. Dessa forma, calculando a distância entre os pontos $C$ e $M$ encontraremos a altura do triângulo. \begin{matrix} d_{CM}^2 = (2-1)^2 +(2 - 3)^2 &\Rightarrow& \fbox{$ d_{CM} = \sqrt{2}$} \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Você pode provar que $\overline{CM}$ é mediatriz pelo falo do triângulo ser isósceles, e $M$ ser ponto médio de $\overline{AB}$. Assim, há dois triângulos congruentes $\text{(L.L.L)}$, os quais os ângulos $A\hat{M}C = B\hat{M}C$, e $A\hat{M}C + B\hat{M}C = 180º$ . $-$ Agora, é só aplicar um Pitágoras, denotemos por $x$ os segmentos de reta $\overline{AM}$ e $\overline{MB}$ \begin{matrix} (\sqrt{5})^2 = ( \sqrt{2})^2 + x^2 &\Rightarrow& \fbox{$x = \sqrt{3}$} \end{matrix} Como, \begin{matrix} \overline{AB} = \overline{AM} + \overline{MB} = 2x \\ \\ \fbox{$\overline{AB} = 2\sqrt{3}$} \\ \\ Letra \ (D) \end{matrix}
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