Considere as funções $f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}$, $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, e $h:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}$ definidas por: $f(x) =3^{x+\frac{1}{x}}$, $g(x) = x^2$, $h(x) = 81/x$. O conjunto dos valores de $x$ em $\mathbb{R}^*$ tais que $(f\circ g)(x) = (h\circ f)(x)$, é subconjunto de:


img
ITA IIIT 30/12/2021 19:33
$-$ Do enunciado, podemos escrever: \begin{matrix} \large{ f \circ g \ (x) = 3^{\large{(x^2 + \frac{1}{x^2}) }} } \\ \\ \large{ h \circ f \ (x) = \frac{81}{ 3^{\large{(x + \frac{1}{x}) }} } } \ \ \ \end{matrix} Assim, \begin{matrix} 3^{\large{(x^2 + \frac{1}{x^2}) }} = \frac{81}{ 3^{\large{(x + \frac{1}{x})}}} \\ \\ 3^{ \large{ (x^2 + \frac{1}{x^2} + x + \frac{1}{x}) } } = 3^4 \\ \\ (x^2 + \frac{1}{x^2} + x + \frac{1}{x}) = 4 \\ \\ (x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x + \frac{1}{x}) = 4 \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ $(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$ \begin{matrix} [(x + \frac{1}{x})^2 - 2] + (x + \frac{1}{x}) = 4 \end{matrix} Seja $(x + \frac{1}{x}) = y$, \begin{matrix} \underbrace{y^2 + y - 6= 0} \\ \fbox{$ y_1 = 2 \ \ , \ \ y_2 = -3$} \end{matrix} $• \ y_1$ \begin{matrix} x + \frac{1}{x} = 2 \\ \\ \underbrace{x^2 - 2.x + 1 = 0} \\ \fbox{$x_1=1$} \end{matrix} $• \ y_2$ \begin{matrix} x + \frac{1}{x} = -3 \\ \\ \underbrace{x^2 + 3.x + 1 = 0} \\ \fbox{$x_2= \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \ \ , \ \ x_3= \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$} \end{matrix} $-$ Assim, o conjunto solução está $\color{orangered}{ \subset [-6,1]}$ \begin{matrix} Letra \ (C) \end{matrix}
Modo de Edição
0 / 5000