$• \ \text{Resolução I:}$ $\color{royalblue}{\text{Sem produtório}}$ \begin{matrix}\log_q{a_n} = 6 &\Rightarrow& q^6 = a_n = a_1\cdot q^{n-1} &\therefore&a_1 = q^{7-n} \end{matrix}Pela primeira relação do enunciado, junto ao conhecimento do princípio fundamental da aritmética, têm-se: \begin{matrix}a_1 a_n = 3^5 &\Rightarrow& q^{7-n} \cdot q^{6} = 3^5 &\therefore & q = 3 &\Leftrightarrow& 13 -n = 5 &|& a_1 = q^{-1} &\because& n = 8 \end{matrix}Sabida a expressão da soma dos $n$ termos de uma progressão geométrica, constata-se:\begin{matrix}S_n = \dfrac{a_1 (q^n-1)}{q-1} = \dfrac{3^{-1} (3^8-1)}{3-1} = \dfrac{ (3^8-1)}{6} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix} $• \ \text{Resolução II:}$ $\color{royalblue}{\text{Com produtório}}$ \begin{matrix} \log_{q}{P_n} = 20 &\Rightarrow& P_n = q^{20} &,& P_n = (a_1 \cdot a_n)^{n/2} &\Rightarrow& q^{20} = (3^5)^{n/2} &\therefore& n = 8 &\wedge& q = 3 \end{matrix}Agora, basta encontrar o valor de $a_1$, para isso, pode-se analisar:\begin{matrix}\log_q{a_n} = 6 &\Rightarrow& q^6 = a_n = a_1\cdot q^{n-1} &\therefore&a_1 = 3^{-1} \end{matrix}A partir daqui o raciocínio é análogo ao anterior.\begin{matrix} Letra \ (C) \end{matrix} $\color{orangered}{\text{Desmonstração:}}$ $P_n = (a_1 \cdot a_n)^{n/2}$ \begin{matrix}P_n = \underset{i = 1}{\overset{n}{\prod }} a_i = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ ... \ \cdot a_n \end{matrix}Observe que: \begin{matrix} \underbrace{a_1 \cdot a_n = a_2 \cdot a_{n-1} = ... = a_2 \cdot a_{n-1} = a_1 \cdot a_n }_{ {\large{ \text{ n termos} }}} \end{matrix}Elevando $P_n$ ao quadrado, temos: \begin{matrix}(P_n)^2 = (a_1 \cdot a_n) \cdot (a_2 \cdot a_{n-1}) \cdot \ ... \ \cdot ( a_2 \cdot a_{n-1}) \cdot ( a_1 \cdot a_n) \end{matrix}Então:\begin{matrix}(P_n)^2 = (a_1 \cdot a_n)^n &\therefore& P_n = \pm (a_1 \cdot a_n)^{n/2} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Atente que na resolução só era válido $ P_n = (a_1 \cdot a_n)^{n/2}$ - condição de existência do logaritmo.