Considere o triângulo $PQR$ ao lado, circunscrito a uma circunferência de centro $O$, cujos pontos de tangência são $A$, $B$ e $C$. Sabe-se que os ângulos $\hat{P}$, $\hat{Q}$ e $\hat{R}$ estão, nesta ordem, em progressão aritmética de razão $20^{\circ}$. Os ângulos $1$, $2$, $3$, $4$ conforme mostrado na figura abaixo medem, nesta ordem:


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ITA IIIT 23/01/2022 15:11
$-$ Ângulos em progressão \begin{matrix} \hat{P} + \hat{Q} + \hat{R} = 180º \ \Rightarrow \ \hat{P} + (\hat{P} + 20º) + (\hat{P} + 40º) = 180º \\ \Downarrow \\ \fbox{$\begin{matrix} \hat{P} = 40º \\ \hat{Q} = 60º \\ \hat{R} = 80º \end{matrix}$} \end{matrix} $-$ Ângulo $\hat{1}$ Perceba que, pelos $\text{Segmentos Tangentes}$, o triângulo $ARB$ é isósceles, com dois ângulos iguais a $50º$. Com isso, os dois triângulos de $ARB$ são congruentes por $\text{L.A.L}$, assim: \begin{matrix} \hat{1} + \hat{1} = 80º \ \Rightarrow \ \fbox{$\hat{1} = 40º $} \end{matrix} $-$ Ângulo $\hat{2}$ Novamente, pelos $\text{Segmentos Tangentes}$, o triângulo $BCQ$ é isósceles, além de que, o triângulo $BCO$ também é isósceles $(\overline{BO} = \overline{OC} = R )$. Dessa forma, é fácil perceber que, traçando $\overline{OQ}$, teremos dois triângulos retângulos congruentes $(\text{L.A.L})$, inclusive, $\overline{OQ}$ é bissetriz, assim: \begin{matrix} \hat{2} = C\hat{O}Q + B\hat{O}Q \ \Rightarrow \ \hat{2} = 60º + 60º \\ \\ \fbox{$\hat{2} = 120º $} \end{matrix} $-$ Ângulo $\hat{3}$ Veja que, o $\hat{3}$ é o ângulo inscrito de $\hat{2}$, assim: \begin{matrix} \hat{3} = \frac{\hat{2}}{2} \ \Rightarrow \ \fbox{$\hat{3} = 60º $} \end{matrix} $-$ Ângulo $\hat{4}$ O triângulo $BOR$ é retângulo, como já conhecemos o ângulo $\hat{1}$, temos: \begin{matrix} \hat{4} = 180º - ( \hat{1} + 90º) \\ \\ \fbox{$\hat{4} = 50º $} \\ \\ Letra \ (A) \end{matrix}
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