Seja o coeficiente angular $m = \tan{\theta}$, a equação da reta bissetriz apresentará o coeficiente angular $n = \tan{\theta/2}$. Dessa forma, a partir da $\text{Tangente do Arco Duplo}$: \begin{matrix} \tan{\theta} = { \dfrac{2\tan{\theta/2}}{1- \tan^2{\theta/2}}} &\Rightarrow& n^2 + \dfrac{2}{m}n -1 = 0 &\Rightarrow& n = { \dfrac{-1 \pm \sqrt{1+m^2}}{m} } \end{matrix}Repara que, segundo enunciado, $m>0$, assim, $\tan{\theta} > 0$, condição essa que nos limita a um único valor de $n$: \begin{matrix} n = { \dfrac{-1 + \sqrt{1+m^2}}{m} } \end{matrix}Portanto, a partir do coeficiente angular $(n)$ temos: \begin{matrix} n = \dfrac{(y-0)}{(x-0)} &\Rightarrow& y = { \dfrac{-1 + \sqrt{1+m^2}}{m} } x \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (D) \end{matrix}

Seja $ 2 \theta$ o ângulo agudo que a reta $y = mx$ forma com o eixo $x$ , a equação da reta bissetriz desse ângulo é da forma $y = ax$ , com $ a > 0 $. Sabendo que $ \tan(2\theta) = m $ e $ \tan(\theta) = a$ , podemos escrever que : $\tan(2 \theta) = \dfrac{2\tan(\theta)}{1 - (\tan(\theta))^2} = m = \dfrac{2a}{1 - a^2} $ $\implies m - a^2m =2a \implies a^2m + 2a - m = 0 $ $\therefore$ $a = \dfrac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4(m)(-m)}}{2m} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 + 4m^2}}{2m} $ $= a = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4(1 +m^2)}}{2m} = \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{1 + m^2}}{2m}$ $= a = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + m^2}}{m}$ Como $a > 0$ , então $a = \dfrac{-1 + \sqrt{1 + m^2}}{m}$ Portanto , a equação da reta bissetriz desse ângulo é igual a : $ y = ax = \boxed{y = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + m^2}}{m}x}$ $\textbf{Resposta : Letra D}$