A priori, têm-se: \begin{matrix} \cos{x} > \cos{y} &\Longleftrightarrow& y > x &\therefore& -90^{\circ}<\alpha < 0 & \text{(4º quadrante)} \end{matrix}Da $\text{Relação fundamental da Trigonometria}$, conclui-se: \begin{matrix} \sin{x} = {\dfrac{\sqrt{11}}{6} } &,&\sin{y} ={\dfrac{{3}}{5} } \end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$ O enunciado garante que $x$ e $y$ estão no primeiro quadrante, assim, não satisfazendo a raiz negativa. Trabalhando a relação $T$ do enunciado, temos: \begin{matrix} T &=& \sqrt{ { {\dfrac{1 - \tan^2{\alpha}}{\color{royalblue}{\sec^2{\alpha} }}}} + \sin^2{\alpha} } &=& \sqrt{ \cos^2{\alpha} } &=& \cos{(x-y)} \end{matrix} $\color{royalblue}{Nota:}$ $\sec^2{\alpha} = 1 - \tan^2{\alpha} $ Continuando, \begin{matrix} T &=& \cos{x} \cos{y} + \sin{x} \sin{y} &=& {{\dfrac{2}{3}}} \ + \ {{\dfrac{\sqrt{11}}{10}}}\end{matrix}\begin{matrix} Letra \ (E) \end{matrix}

Perceba primeiramente que $\cos(x) > \cos(y) \implies x < y $ , logo podemos afirmar que $ \alpha$ pertence ao $4°$ quadrante. Reduzindo $T$ para um formato mais simples: $T = \sqrt{\dfrac{1 - \tg^2\alpha}{1 + \tg^2\alpha} +\sin^2\alpha} = \sqrt{\dfrac{\dfrac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\sec^2\alpha} + \sin^2\alpha} $ $ = \sqrt{\dfrac{\sec^2\alpha \cdot (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)}{\sec^2\alpha} + \sin^2\alpha} =\sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha+ \sin^2\alpha} $ $= T = \sqrt{\cos^2\alpha}$ , como $\alpha$ está no quarto quadrante temos que $T = \cos(\alpha) = \cos(x - y) = T = \cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)$ Para encontrar o valor de $T$ devemos encontrar primeiramente o valor de $\sin(x)$ e $\sin(y)$. $\sin^2x = 1 -\cos^2x = 1 -\left(\dfrac{5}{6}\right)^2 = \sin^2x = \dfrac{11}{36}$ $\implies \sin(x) = \dfrac{\sqrt{11}}{6} $ $\sin^2y = 1 -\cos^2y = 1 -\left(\dfrac{4}{5}\right)^2 = \sin^2y = \dfrac{9}{25}$ $\implies \sin(y) = \dfrac{3}{5}$ $\therefore$ $T = \cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y) = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{4}{5}+ \dfrac{\sqrt{11}}{6} \cdot \dfrac{3}{5}$ $= \boxed{T = \dfrac{2}{3} + \dfrac{\sqrt{11}}{10}}$ Visto que $\alpha$ pertence ao $4°$ quadrante e que $T = \dfrac{2}{3} + \dfrac{\sqrt{11}}{10} $ , portanto , podemos afirmar que a alternativa correta é a $\textbf{Letra E}$.