Sabendo-se que $x$ e $y$ são ângulos do primeiro quadrante tais que $\cos x = 5/6$ e $\cos y = 4/5$, então se $\alpha = x - y $ e $T=\sqrt{\dfrac{1 - \tan^{2}\alpha}{1 + \tan^{2}\alpha} + \sin^{2}\alpha}$, temos que:


img
ITA IIIT 28/04/2022 21:18
A priori, têm-se: \begin{matrix} \cos{x} > \cos{y} &\Longleftrightarrow& y > x &\therefore& -90^{\circ}<\alpha < 0 & \text{(4º quadrante)} \end{matrix}Da $\text{Relação fundamental da Trigonometria}$, conclui-se: \begin{matrix} \sin{x} = {\dfrac{\sqrt{11}}{6} } &,&\sin{y} ={\dfrac{{3}}{5} } \end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$ O enunciado garante que $x$ e $y$ estão no primeiro quadrante, assim, não satisfazendo a raiz negativa. Trabalhando a relação $T$ do enunciado, temos: \begin{matrix} T &=& \sqrt{ { {\dfrac{1 - \tan^2{\alpha}}{\color{royalblue}{\sec^2{\alpha} }}}} + \sin^2{\alpha} } &=& \sqrt{ \cos^2{\alpha} } &=& \cos{(x-y)} \end{matrix} $\color{royalblue}{Nota:}$ $\sec^2{\alpha} = 1 - \tan^2{\alpha} $ Continuando, \begin{matrix} T &=& \cos{x} \cos{y} + \sin{x} \sin{y} &=& {{\dfrac{2}{3}}} \ + \ {{\dfrac{\sqrt{11}}{10}}}\end{matrix}\begin{matrix} Letra \ (E) \end{matrix}
Modo de Edição
0 / 5000
ManualLaTeX