No desenvolvimento $(x + y)^6$ , ordenado segundo as potências decrescentes de $x$, a soma do $2º$ termo com $1/10$ do termo de maior coeficiente é igual a oito vezes a soma de todos os coeficientes. Se $x = (2)^{z+1}$ e $y = (1/4)^{z-1/2}$, então:


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ITA IIIT 21/10/2021 21:53
A priori temos muitas informações em um curto enunciado, por isso, recomendo ler com calma, e se necessário, faça o que fiz abaixo: \begin{matrix} (segundo \ termo \ de \ x) + \frac{1}{10}.(termo \ com \ maior \ coeficiente) = 8. (soma \ de \ todos \ os \ coeficientes) \ \ \color{royalblue}{(1)}\end{matrix} Existem duas formas diretas de resolver a questão, $Triângulo \ de \ Pascal$ ou $Termo \ Geral \ do \ Binômio \ de \ Newton$, irei optar pelo $Triângulo \ de \ Pascal$ pois é visualmente mais simples, mesmo que façamos maior trabalho braçal. Vamos por partes, primeiro o mais fácil, "soma de todos os coeficientes", é só abrir o triângulo e somar. \begin{matrix} (soma \ de \ todos \ os \ coeficientes) = 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 =64 \end{matrix} Agora que você abriu o triângulo, é fácil perceber que o "termo de maior coeficiente" é $20x^3y^3$ \begin{matrix} \dfrac{1}{10}\cdot (termo \ com \ maior \ coeficiente) = \dfrac{1}{10} \cdot 20\cdot (2^{z+1})^3 \cdot \left[ \left(\dfrac{1}{4}\right)^{z - 1/2}\right]^3 \end{matrix}E o "segundo termo de x"? Se você está com o triâgulo aí, já viu que é $6x^5y^1$ \begin{matrix} (segundo \ termo \ de \ x)= 6(2^{z+1})^5 \cdot \left(\dfrac{1}{4}\right)^{z - 1/2} \end{matrix}Agora é hora de ser o "Lenhador da Matemática", muito braço para as contas, até você chegar em algo assim na nossa equação (1): \begin{matrix} 2^{-3z} + 3\cdot 2^{3z} = 2^2 \\ 2^{3z} = q \\ q^{-1} + 3.q = 2^2 \\ \\ \fbox{$3.q^2 - 4q +1 = 0$} \end{matrix}Não vai ser uma equação de segundo grau que vai lhe parar agora, né?\begin{matrix} q_1 = 1 \ \ ou \ \ q_2 = \frac{1}{3} \end{matrix}Para $q_1$: \begin{matrix} 2^{3z} = 1 \rightarrow \ z = 0 \end{matrix}Para $q_2$:\begin{matrix} 2^{3z} = \dfrac{1}{3} &,& \dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{4}&\Rightarrow& 2^{-1}>2^{3z}>2^{-2} &\therefore& -1>3z>-2 \end{matrix}Neste momento, é ver que:\begin{matrix} z \in \ \ \left] -\dfrac{2}{3} , -\dfrac{1}{3} \right[ \ \cup \left \{ 0 \right \} \end{matrix}Note, por fim, que $\color{red}{z}$ é um subconjunto de $\color{red}{( -\infty,0]}$, logo, encontramos:\begin{matrix} Letra \ (C) \end{matrix}
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