No desenvolvimento $(x + y)^6$ , ordenado segundo as potências decrescentes de $x$, a soma do $2º$ termo com $1/10$ do termo de maior coeficiente é igual a oito vezes a soma de todos os coeficientes. Se $x = (2)^{z+1}$ e $y = (1/4)^{z-1/2}$, então:


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ITA IIIT 21/10/2021 21:53
$-$ A priori temos muitas informações em um curto enunciado, por isso, recomendo ler com calma, e se necessário, faça o que fiz abaixo: \begin{matrix} (segundo \ termo \ de \ x) + \frac{1}{10}.(termo \ com \ maior \ coeficiente) = 8. (soma \ de \ todos \ os \ coeficientes) \ \ \color{royalblue}{(1)}\end{matrix} Existem duas formas diretas de resolver a questão, $Triângulo \ de \ Pascal$ ou $Termo \ Geral \ do \ Binômio \ de \ Newton$, irei optar pelo $Triângulo \ de \ Pascal$ pois é visualmente mais simples, mesmo que façamos maior trabalho braçal. • Vamos por partes, primeiro o mais fácil, "soma de todos os coeficientes", é só abrir o triângulo e somar. \begin{matrix} (soma \ de \ todos \ os \ coeficientes) = 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 =64 \end{matrix} • Agora que você abriu o triângulo, é fácil perceber que o "termo de maior coeficiente" é $20.x^3.y^3$ \begin{matrix} \frac{1}{10}.(termo \ com \ maior \ coeficiente) = \frac{1}{10}. 20. (2^{z+1})^3.[(\frac{1}{4})^{z - 1/2}]^3 \end{matrix} • E o "segundo termo de x"? Se você está com o triâgulo aí, já viu que é $6.x^5.y^1$ \begin{matrix} (segundo \ termo \ de \ x)= 6.(2^{z+1})^5.(\frac{1}{4})^{z - 1/2} \end{matrix} • Agora é hora de ser o "Lenhador da Matemática", muito braço para as contas, até você chegar em algo assim na nossa equação (1): \begin{matrix} 2^{-3z} + 3.2^{3z} = 2^2 \\ 2^{3z} = q \\ q^{-1} + 3.q = 2^2 \\ \\ \fbox{$3.q^2 - 4q +1 = 0$} \end{matrix} • Não vai ser uma equação de segundo grau que vai lhe parar agora, né? \begin{matrix} q_1 = 1 \ \ ou \ \ q_2 = \frac{1}{3} \end{matrix} Para $q_1$: \begin{matrix} 2^{3z} = 1 \rightarrow \ z = 0 \end{matrix} Para $q_2$: \begin{matrix} 2^{3z} = \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \frac{1}{4} \ \ \ \rightarrow \ \ \ 2^{-1}>2^{3z}>2^{-2} \\ -1>3z>-2 \end{matrix} • Agora é só ver que: \begin{matrix} z \in \ \ ] -\frac{2}{3} , -\frac{1}{3} [ \ \cup \left \{ 0 \right \} \end{matrix} • Note, por fim, que $\color{red}{z}$ é um subconjunto de $\color{red}{( -\infty,0]}$, logo, encontramos: \begin{matrix} Letra \ (C) \end{matrix}
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