Considere o número complexo $z = a + 2i$ cujo argumento está no intervalo $(0, \pi/2)$. Sendo $S$ o conjunto dos valores de a para os quais $z^6$ é um número real,podemos afirmar que o produto dos elementos de $S$ vale:


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ITA IIIT 27/02/2022 21:57
O enunciado induz ao trabalho com a forma geométrica dos números complexos, nesse caso em questão, podemos visualizar a situação:
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Agora, podemos representar $z$ numa forma polar:\begin{matrix} z = |z| \ . \ (\cos{\varphi} + i\sin{\varphi}) \\ \Downarrow \\ z^6 = |z|^6 \ . \ (\cos{6\varphi} + i\sin{6\varphi}) \ \ , \ \ z^6 \in \mathbb{R} \\ \Downarrow \\ \sin{6\varphi} = 0 \ \ \Rightarrow \ \ 6\varphi = k\pi \ \ , \ \ k = 1,2,...,6 \\ \Downarrow \\ {\varphi_1 =\dfrac{\pi}{6}} \ \ \ , \ \ \ \varphi_2 = {\dfrac{\pi}{3}} \end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$ Note que, $\varphi_3$ em diante não satisfaz o problema, visto que o argumento $(\varphi)$ está em $(0, \pi/2)$. Repare novamente na figura, podemos encontrar $a$ fazendo: \begin{matrix} \tan{\varphi} = {\dfrac{2}{a}} &\Rightarrow& a = {\dfrac{2}{\tan{\varphi}}} \\ \\ a_1 = {\dfrac{2}{\tan{\varphi_1}}} &,& a_2 = {\dfrac{2}{\tan{\varphi_2}}} \\ \\ \fbox{$a_1 = {\dfrac{6}{\sqrt{3}}}$} &,& \fbox{$a_2 = {\dfrac{2}{\sqrt{3}}} $} \end{matrix} \begin{matrix} \fbox{$a_1 \ . \ a_2 = 4$} \\ \\ Letra \ (A) \end{matrix}
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